模糊数学论文篇(1)

关键词：绩效评估模糊数学隶属度

一、绩效评估的概念及常用方法

绩效评估，又称绩效考评、绩效评价、绩效考核，就是收集、分析、评价和传递有关某一个人在其工作岗位上的工作行为表现和工作结果方面的信息情况的过程。这是一个包括观察、评价和反馈的完整的过程。在此过程中，首先观察员工在某个阶段内与工作有关的工作情况，然后对其工作行为与结果做出评价鉴定，在交流过程中对员工优秀的行为与成绩予以肯定与鼓励，指出其不足之处，并商讨改进的措施，以完成下一期的目标，实现员工个人与组织的共同发展。在企业和非营利组织的管理中，绩效考核作为评价每一个员工工作结果及其对组织贡献的大小的一种管理手段，每一个组织都在事实上进行着绩效考核。不管他们是否有意识地提高了自身的绩效考核水平，他们都在设法比较合理地衡量着各个员工的绩效。由于组织是由其广大员工运行的，因此为每一个员工的绩效进行合理的评价，据此激励、表扬先进，鞭策后进是非常必要的。在人力资源管理已经得到越来越广泛重视的今天，绩效考评也自然成为企业在管理员工方面的一个核心的职能。

在绩效考评过程中，对信息的处理方式大致可以分为两类，定量考评和定性考评。

定量考评是以统计数据为基础，把统计数据作为主要信息来源，建立绩效考评数学模型，以数学手段求得考核结果，并以数量的形式表示出来。常用方法有：关键事件法、行为观察量表法、等级鉴定法、行为锚定法等。

定性考评也称为专家考评，它是由考评主体对系统的输出做出主观的分析，直接给考核对象进行打分或做出模糊的判断，如很好、好、一般、不太好或不好。常用方法有：评语法、排序法等。

定量考评虽然具有客观性和可靠性强的优点，但在实际考评中，有许多对绩效有重要影响的因素指标是模糊的，难以量化的，比如对于员工的品德、态度的评价，就是无法做出准确定量的描述的。而定性考评的缺点又是显而易见的：考评结果容易受考评主体主观意识的影响和经验的局限，其客观性和准确性在很大程度上取决于考核主体的个人素质，考核结果的稳定性不够，容易造成人为的不公平。

怎样才能结合两种考评方式的优点呢？模糊数学的发展和应用为我们提供了减少定性考核主观性的一种方法。

二、模糊数学评价方法的理论基础

1、模糊理论（FuzzyTheory）

模糊理论是由美国加里福尼亚大学教授查德（L.A.Zadeh）于1965年创建的，它是用数学方法来研究和处理具有“模糊性”现象的数学，故通常称为模糊数学。模糊评价的基本思想是：由于许多事情的边界并不十分明显，评价时很难将其归于某个类别，于是先对单个因素进行评价，然后再对所有因素进行综合模糊评价，防止遗漏任何统计信息和信息的中途损失，这有助于解决用“是”或“否”这样的确定性评价带来的对客观真实的偏离。模糊综合评价的步骤为：

首先，确定模糊评价指标集U={u1，u2，……，um}；

然后，确定指标等级的评价集，V={v1，v2，……，vn}；

定出每个因素对于各评价等级的隶属度。定性指标的隶属度用模糊统计的方法求得。模糊统计是请参与评价的各位评价小组成员，按划定的评价集V，给指标U确定等级，然后，依此统计各指标评价等级的频数mij，然后用下式求得隶属度rij:rij=，并由此得出因素评价矩阵R=（rij）（i=1，2，……，m；j=1，2，……，n）；

首先确定各因素的权重，A=[a1a2…am]；由评判组确定一因素对评价的影响相对于其他因素的重要程度；

然后作模糊变换，综合评判。B=A×R[b1b2…bn]根据计算结果，可按最大隶属度原则做出具体的评判。

2、评价原则

（1）最大隶属度原则。在评价时，采用最大隶属度原则，即bk=max[b1b2…bn]时则认为项目的综合评价等级为第k级。

（2）最大隶属度原则失效时的评价方法。当出现bi和bk（k=i±1）比较接近或?姿=?燮0.7时（其中，bi为和bk最接近的值），最大隶属度原则便失效，则在评价时，令?啄=，

当i=k-1时，被评价对象为第（i+?啄）级；当i=k+1时，被评价对象为第（k-?啄+1）级

三、算例

下面将以某公司中技术管理人员绩效评估为例，详细说明基于模糊数学的综合分析绩效评价方法。

1、建立评价指标体系，从而确定模糊评价指标集

如表1所示，在员工绩效评价中，选择出影响绩效的模糊评价指标构成指标集。如本例中建立了一个二层评价指标体系，首先，对员工绩效的评价将从工作态度、工作能力、工作业绩三方面进行考察，这三方面就构成了在第一层中的三个指标{u1u2u3}，而每个指标又可继续向下分解为更细致的指标，这些指标就构成了第二指标层。

2、可以这样来定义指标等级的评价集

V=｛优，良，中，差｝，评价集可以视具体情况确定。

3、向绩效评价委员会的10位成员发放某员工绩效考评表

对该员工工作绩效的三大方面进行考核（见表2）。考评结果的统计方法如下，对于每一项指标在每一等级上进行统计即得隶属度，如：有三位评委评语为优秀，则该指标在优秀级别上的隶属度为30％；同理，其他三个等级的隶属度为：4人合40％的良好，1人合10％的中等，0人合0％的较差，该员工绩效评价隶属度计算如2表所示。

由以上数据可得该员工第二指标层各指标的模糊评判矩阵分别为：

4、确定各层各指标权重

确定权重常用的方法有，层次分析法，德尔菲法，调查表法等。本文中的权重由考评小组成员投票得出，权重分布详见表2。

通过统计分析，第一指标层各指标权重向量为A=[0.20.40.4]

同理，第二指标层各指标权重向量为A1=[0.40.30.10.2]；A2=[0.40.20.20.2]；A3=[0.20.30.30.2]

5、员工绩效水平值的计算

由式可以计算，第二层指标的综合评价判断矩阵B1、B2、B3分别为：

则可以计算，第一层指标的层次总评值为：

计算结果显示：该员工绩效水平属于“优”等级的隶属度为41.2%，属于“良”等级的隶属度为53.8%，属于“中”等级的隶属度为5%，属于“差”等级的隶属度为0%，即该员工绩效为“优”或“良”的可能性均较大。

6、评价结论

对计算出的层次总

评值采用最大隶属度原则进行判断：

则该员工的绩效评价等级为：（i+?啄）=1.566级，该结果表明该员工的绩效评价结果介于第一级“优”和第二级“良”之间，但更接近与第二级“良”，这一评价结果是符合客观实际的。

尽管上述模型给员工的绩效评估带来了很大方便，但它也不是完美无缺的，特别是不能认为用该模型进行的测评丝毫没有主观因素。事实上，在模糊测评里同样含有主观成分，例如权数的确定就是主观的，不过这里的权数是由集体确定的，它与由一个人决定的主观评价有着本质的不同，因此，可以认为基于模糊理论的员工绩效评估模型是主观与客观的统一物。也就是说，模糊测评模型虽然没有从根本上排除主观因素的影响，但是它对主观因素进行了控制。

【参考文献】

[1]张德：人力资源开发与管理[M]，清华大学出版社，2001.

模糊数学论文篇(2)

关键词：模糊数学；汉字识别；模糊匹配

中图分类号：TP391文献标识码：A文章编号：1009-3044(2012)21-5176-02

Fuzzy Theory Application to Chinese Characters Recognition

MA Hong-yan

（Information Engineering Institute, Longdong University ,Qinyang 745000,China）

Abstract: The fuzzy mathematics since its birth has achieved rapid development, with the popularization and application of computer tech? nology, especially the popularization of Internet, people depend more and more on computers to get all kinds of information, a lot of infor? mation processing are transferred to a computer for. In daily life and work, there are a large number of text information processing prob? lems, the text information to the computer processing requirements becomes very urgent. Character recognition is the field of pattern rec? ognition is an important direction, involving many aspects of knowledge, and its practical significance is far-reaching.

Key words: fuzzy mathematics;Chinese characters recognition;fuzzy matching

1965年,美国加州大学的L.A.Zadeh教授发表的题为:“Fuzzy Sets”和“Fuzzy Sets and Systems”两篇开创性的论文是模糊数学诞生的标志。

模糊性概念现在用模糊集来进行描述,运用模糊数学的概念可以进行判断、推理、评价、决策以及控制的过程等。例如模糊聚类分析、模糊模式识别等。这些方法构成了一种模糊性系统理论，构成了一种思辨数学的雏形，在气象、医学、心理、地质、石油、环境、生物、林业、农业、经济管理、化工、语言、遥感、控制、体育、教育等方面已经取得了明显的成果。模糊数学的应用领域主要是计算机智能方面，这也是计算机发展的一个主要方向。模糊数学主要研究的内容是三个方面：第一是模糊数学理论的研究，以及它和传统的精确数学、随机数学之间的关系。第二是模糊语言学以及模糊逻辑的研究。这两方面的研究目前还不是很成熟，需要进一步的深入研究。第三是模糊数学的应用的研究，这是模糊数学的主要研究方向。模糊数学的研究对象是不确定性的事物，因此它对于传统的精确数学、随机数学的不足能起到弥补的作用。现已有模糊群论、模糊拓扑学、模糊概率、模糊图论、模糊逻辑学、模糊语言学等分支。

1模式识别

模式识别的主要任务是让机器模拟人的思维方法，对客观世界中带有模糊特征的事物进行识别和分类。计算机分析各种模式，并对未知模式给出分类和结构描述。模式识别问题是已知事物的各种类别，然后来判断给定的对象是属于哪一个类别的问题，"模式"是指标准的模板。实际生活中，有些事物的类别（即模式）是明确、清晰和肯定的，但也有很多事物的模式带有不同程度的模糊性，对这些具有模糊性的模式借助于模糊理论来刻画。具有"模糊模式"的模式识别问题，可以用"模糊模式识别"方法来处理[1]。

解决模式识别的问题时使用模糊逻辑的方法或思想的方法就是模糊模式识别。模糊技术在统计模式识别及句法模式识别方面均有较好的应用。其主要特点是它能更直接更自然地表达人们习惯使用的一些逻辑含义，模糊数学对于直接的或者高层的知识表示很是适用，这就使得模糊概念的模式识别能成为智能科学前沿领域的研究的有效工具之一。

模糊模式识别通常由传感器部分、预处理部分、特征提取部分、识别分类部分四部分组成的，在模式识别征的提取是非常重要的。模式识别的方式有两种：第一种是最大隶属原则（直接方法），这种方法应用相当广泛，象三角形的识别、染色体的识别等都属于这一类，这类问题的难点在于隶属函数的建立。第二种是择近原则（间接方法），择近原则是模式识别中的一种间接方法，目前它已用于计算机识别手写数码及文字。对于文字识别，无论是印刷体还是手写体，让计算机识别时，输入的模型都是选取特征后面的平面格点，它是一个模糊集，而计算机原来存贮的模型也是几个模糊集，这时需要考虑的就是贴近问题。

汉字识别技术是一种高速、自动的信息录入手段，是未来计算机的重要职能接口，同时也是办公自动化、新闻出版、机器翻译等

在自然语言的处理过程中，模糊字辨认还是一个比较困难的事情，因此迫切需要一种高效率的自动的辨认方法。该文提出了一种基于语义的模糊匹配算法，能够很好地解决这个问题，而且具有实际应用的可能。

模糊数学是一门崭新的数学学科，它的产生不仅拓广了经典数学的基础，而且是使计算机科学向人们的自然机理方面发展的重大突破。它在科学技术、经济发展和社会学等问题的广泛应用领域中显示了巨大的力量。它虽然只有二十多年的历史，但已被国内外数学界以及信息、系统、计算机和自动控制科学、人员的普遍关注，它是正在迅速发展中的有着广阔应用前景的一门崭新学科。

[1]周拥,张彪,夏宽理.基于语义的模糊匹配在模糊汉字辨认中的应用[J].计算机工程,2002(5).

[2]张忻中.汉字识别技术[M].北京：清华大学出版社,1992.

[3]谢季坚,刘承平.模糊数学方法及其应用[M].3版.武汉:华中科技大学出版社,2006.

模糊数学论文篇(3)

摘要 模糊集与模糊推理方法为描述和处理事物的模糊性和系统的不确定性以及模拟人的智能和决策推理能力提供了十分有效的工具。本文就模糊推理的模糊逻辑在国内外研究历史、现状和最新研究成果进行了综述，简要分析了基本逻辑系统BL与t-范数、模糊推理的全蕴涵三I、基于左连续t-范数的模糊逻辑系统MTL和关于模糊蕴涵算子与合参t-范数的研究情况。

关键词 t-范数；模糊推理；模糊逻辑

中图分类号O142 文献标识码A 文章编号 1674-6708（2012）61-0077-02

0 引言

模糊集与模糊推理方法为描述和处理事物的模糊性和系统的不确定性以及模拟人的智能和决策推理能力提供了十分有效的工具。近年来模糊推理的逻辑基础得到活跃而深入的研究，本文就国内外研究历史、现状和最新研究成果教学论述。

1 模糊集合论的发展与争论

Zadeh 于1965年创立了模糊集合论[1]，并在1973年提出模糊推理的CRI方法，从而为描述和处理事物的模糊性和系统的不确定性以及模拟人的智能和决策推理能力提供了十分有效的工具模糊推理被应用于工业控制与家电产品的制造中，取得了极大成功。然而，与应用相比，模糊推理的理论基础并非无懈可击，如1993年7月Elkan博士(现为加利福尼亚大学教授)在美国第11届人工智能年会上作了题为“模糊逻辑的似是而非的成功” 的报告[2]， 引起了一场轩然大波。 模糊界和人工智能界的15位专家、学者对Elkan的文章进行评论。关于这场争论，吴望名教授在文献[3]中进行了介绍和讨论，应明生教授在文献[4]中说: “虽然Elkan 的许多观点是错误的，吴望名己经给予一定的澄清，但是，我们也一定看到模糊逻辑缺乏系统深入的理论研究却是不争的事实”。当然这场争论并未取得一致的意见事实上，这场争论始终没有平息。同时，也正因为如此，近年来模糊推理的逻辑基础得到活跃而深入的研究，我国学者在这一领域取得了众多重要成果。

2 基本逻辑系统BL与t-范数

模糊集与模糊推理方法为描述和处理事物的模糊性和系统的不确定性以及模拟人的智能和决策推理能力提供了十分有效的工具，近年来模糊推理的逻辑基础得到活跃而深入的研究。在模糊逻辑理论中，长期占主导地位的是基于t-范数（也称为t-模或三角模）的逻辑系统（也称为t-范数逻辑） 在这类逻辑中，使用t-范数作为合取联结词的解释，并由此解释其他命题联结词，如蕴涵、析取联结词分别解释为由t-范数诱导的剩余型蕴涵、与t-范数关于否定算子对偶的t-余范数，而否定联结词通常经由蕴涵解释为AO。这样定义的逻辑理论具有许多优良的逻辑性质，反映了人类日常思维与推理中的许多逻辑特征，这类逻辑理论在模糊推理和人工智能研究中已经获得广泛的应用。

1996年以来，捷克逻辑学专家Hajek发表了一系列富有意义的研究成果，其中基本逻辑系统BL的提出对模糊逻辑的基础研究影响较大，几个重要的模糊逻辑系统都是BL系统的语义扩张(即公理模式扩张，关于语义扩张的严格定义，如Lukasiewicz连续值系统、Godel系统、积逻辑系统等关于逻辑系统BL的相关理论，集中反映在文献[5] 中Hajek还基于剩余格理论提出了与基本逻辑BL对应的BL-代数理论，它包括MV-代数[6]、Godel代数和积代数作为特例。每个连续t-范数唯一地确定单位区间[0,1]上一个BL-代数，文献[5]提出了这样的公开问题：如果公式A是[0,1] 上每个BL-代数中的重言式，那么A在系统BL中是否必定可证? 换言之，形式系统BL是否是所有连续t-模基逻辑的公共的完备公理化？2000年，这个问题给出了肯定的回答[7]。

3 模糊推理的全蕴涵三I

同样是1996年，为了寻求模糊推理的可靠逻辑基础，王国俊教授基于对模糊逻辑与模糊推理方面存在问题的分析，在全国第七届多值逻辑与模糊逻辑年会上，提出了一个新的形式演绎系统L*此后，该系统经多次修改完善，并发展成一整套理论 [8-11]。 系统L* 是基于Ro t-范数及其剩余蕴涵Ro蕴涵算子(也称为修正的Kleene蕴涵算子)的，具有许多优良的逻辑性质。与系统L*相配套的代数结构是Ro-代数，它的一种推广形式被称为弱Ro -代数。它们与BL-代数互不包含[12]。同时，王国俊教授倡导模糊逻辑与模糊推理的结合研究，并于1999年提出了模糊推理的全蕴涵三I算法(简称为三I算法 [13]) ，有效地改进了Zadeh在1973年提出的求解FMP问题的合成推理规则(RI) 。 关于三I 算法，还有一系列文献对其进行更深入的研究[14] 。

4 基于左连续t-范数的模糊逻辑系统MTL

2001年，西班牙学者Esteva 和GodO建立了并得到几个语义扩张系统[15]，即弱幂零极小逻辑WNM，对合Monoidal t-范数逻辑IMTL 及幂零极小逻辑NM。同时，提出了与这些逻辑系统相关的代数结构MTL-代数，WNM-代数，IMTL-代数和NM-代数，构建了这些形式系统的语义。 MTL逻辑系统的标准完备性的证明由Jenei与Montagna完成[16]。有趣的是，2003年裴道武证明了系统L*与NM 是等价的，Ro-代数和NM-代数实际上是相同的代数系统，弱Ro代数和IMTL-代数也是相同的代数系统[17]。

5 关于模糊蕴涵算子与合参t-范数

在模糊逻辑中，选择怎样的蕴涵算子对模糊推理的效果有直接影响。如上所述，在现已建立的各种模糊逻辑系统中，所选择的蕴涵算子基本上都与某种t模相伴，即均为剩余蕴涵，此外还有一些其他类型的模糊蕴涵算子。一个值得注意的研究思路是带参数的模糊蕴涵算子， 如Klement 与Navara 在1999 年研究了基于带参数的Frank t- 模的模糊逻辑系统[18]；吴望名教授、王国俊教授等分别在2000年、2003年研究了带参数的Kleene系统[19]；而美国学者Whalen 也于2003 年在Fuzzy Sets & Systems上发表了长达50页的论文[20]，专门论述带参数的Schweizer- Sklar R-蕴涵，并将其中的参数p与模糊规则之间交互作用的强度联系起来。为了刻画逻辑柔性，何华灿教授在建立新逻辑体系时选择了带参数的t-范数，并用广义相关性和广义自相关性来描述代表柔性的参数的意义。同时从不同侧面深入论述了含参联结词在模糊逻辑、模糊控制、决策支持、神经网络等中的重要意义等。因此，在模糊逻辑体系中加入适当参数，己成为一个重要而有意义的研究方向，这可能是模糊逻辑与模糊推理相结合的新途径。

参考文献

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[6]Chang C C.Algebraic analysis of many-valued logics.Transactions of the American Methodical Society[J]，1958，88：467-490.

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[9]王国俊.数理逻辑引论与归结原理[M].2版.北京：科学出版社，2006.

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[11]王国俊，钱桂生，党创寅.命题演算系统L*与谓词演算系统K*中统一的近似推理理论.中国科学(E辑)[J]，2004，34(10) ：1110-1122.

[12]王国俊.MV-代数、BL-代数、Ro-代数与多值逻辑[J].模糊系统与数学，2002，16(2)：1-15.

[13]王国俊.模糊推理的全蕴涵三I算法[J].中国科学(E 辑)，1999，29(1)：43-53.

[14]王国俊，宋庆燕.一种新型的三I算法及其逻辑基础[J].自然科学进展，2003，13(6)：575-581.

[15]Esteva F, Godo L.Monoidal t-norm based logic : towards a logic for left-continuous t-norms[J].Fuzzy Sets and Systems，2001，124: 271-288.

[16]Jenei S, Montagna F.A proof of standard completeness for Esteva and Godo's logic MTL.[J]Studia Logica，2002，70：183-192.

[17]Pei D W.Simplification and independence of axioms of fuzzy logic systems IMTL and NM[J].Fuzzy Sets and Systems，2005，152: 303-320.

[18]Klement E P, Navara M.Propositional Fuzzy Logics based on Frank t-norms:A comparison.in Fuzzy Sets, Logics and Reasoning about Knowledge, D.Dubois et al.Kluwer Academic Publishers[M], 1999.

模糊数学论文篇(4)

英文名称：Fuzzy Systems and Mathematics

主管单位：

主办单位：中国模糊数学与模糊系统学会;国防科技大学理学院

出版周期：双月刊

出版地址：湖南省长沙市

语

种：中文

开

本：大16开

国际刊号：1001-7402

国内刊号：43-1179/O1

邮发代号：42-180

发行范围：国内外统一发行

创刊时间：1987

期刊收录：

CBST 科学技术文献速报(日)(2009)

中国科学引文数据库(CSCD―2008)

核心期刊：

中文核心期刊(2008)

中文核心期刊(2004)

期刊荣誉：

Caj-cd规范获奖期刊

联系方式

期刊简介

《模糊系统与数学》（双月刊）创刊于1987年，是由国防科技大学理学院、国防科技大学信息系统与管理学院主办的模糊数学与模糊系统专业委员会会刊。

模糊数学论文篇(5)

【关键词】：模糊集合理论；水库建设规模优化设计；应用效果

我国由于地域宽广，在水资源的分布中存在许多的差异，其中南北差异是最明显的，北方水资源较少且降雨量集中在夏季，南方全年降雨量较多，且水资源丰富；又由于水库对于预防洪旱灾害具有重要的影响，因此，建设合理规模的水库对于当地的经济发展具有重要的现实意义[1]。而水库建设规模设计过程中，需要科学计算水库在汛期汛限水位以及水库库容，才能够保障水库建设的经济效益，将经费得到最大利益的使用，能够建设具有较高调节能力的水库，有助于提高水库的供水效益以及防洪旱效益，也是水库建设规模优化设计的主要任务。

一、模糊集合理论的内涵

普通集合理论是将经典数学作为其发展基础，对于提出的问题以及现实生活的现象进行有效的阐述，即确定性和具体性，但是对于某一项现象或状况的模糊阐述存在一定的局限，即模糊性和不确定性。在上个世纪60年代中期，美国学者扎德在其论文《模糊集合》中对模糊集合理论进行了系统的阐述，同时也标志着模糊集合理论的产生[2]。模糊集合理论是基于模糊数学的基础上，结合普通集合理论，并完善和补充其在模糊性阐述中的缺陷。模糊集合理论的产生，推动人们对于现行的模糊性阐述有了更加深层次的理解和深入。现象的模糊性出现具有不确定性外，同时具有随机性和多面性，模糊性主要是指对客观存在产生的差异在中介过度时表现出的不确定性。在模糊集合理论中是将排中律出现差异导致认知或分离上存在不确定性[3]。其是将普通集合函数拓展为隶属函数定义。若N是一个区域，B是N的一个模糊子集，B的特征函数NB的定义为NB：B[0，1]，n丨NB（n）∈[0，1]。

自上个世纪80年代末期，我国著名学者陈守煜教授在模糊集合理论的基础上建立了模糊水文、水资源学科，并且建立了相应的模糊水文学原理，成立了集成因分析、概率分析以及模糊集合分析等功能的体系[4]。并在一段时间的研究与应用中，不断完善并建立了相对隶属度以及相对隶属函数概念为理论基础的工程模糊集系统理论，并提出了直接模糊统计实验概念与方法，为工程模糊集合论在隶属度以及隶属函数中存在的问题提出了有效的解决方式，从理论以及实验两方面解决了其存在的问题。证实了隶属度、隶属函数的客观性以及科学性，推动了模糊集合理论在工程领域的应用[5]。

二、模糊集合理论在水库建设规模优化设计中的应用

汛期内的流域径流变化一般为单峰型，并且河道流量的变化成连续性和渐变性，从非降雨季节到降雨季节，由汛期到非汛期的变化存在显著的中介过渡性，能够应用模糊集合理论对其展开研究。文章应用模糊集合理论对水库控制流域汛期展开模糊分析，分析水库的汛期分期， 并对水库汛期的隶属度和隶属函数进行科学计算， 并根据水库的兴利调节计算和调度演算， 能够得到实际可行的水库汛期各分期汛限水位， 有助于提高水库建设规模优化设计的质量。文章选取亚布力水库进行相关研究。

2.1亚布力水库简介

亚布力水库位移黄泥河下游，水域控制流域面积为407km2，流域内的动植物具有多样性，也是黑龙江省降雨量较多的地区。水库控制流域气候为中温带大陆性季风气候，流域水资源大部分来源于6～9月的降雨。亚布力水库以农业灌溉为主要任务，同时具备防洪、供水、旅游、水产品养殖等多种功能，为中型水库[6]。

2.2亚布力水库汛期的模糊性分析

将汛期作为2c时间论域I中的一个模糊子集B，非汛期同样为模糊子集，可运用隶属函数进行阐述，即对亚布力水库在任意时间i，确定一个映射，即NB：I[0，1]，i丨NB（i）∈[0，1]，公式中的NB（i）为时间元素，其隶属于模糊子集B（汛期），是一个隶属度。当NB（i）为1时，说明时间i属于完全汛期，也就是主汛期；当NB（i）为0时，说明时间i

属于完全非汛期，也就是非汛期；若0

结束语

随着现代社会的不断发展以及生产转型的深入，我国水利水电工程建设规模也越来越大。但盲目的扩大工程项目的建设规模，可能导致汛期防洪效益降低，导致资金亏损，造成资源的浪费。因此，模糊集合理论在水库建设规模优化设计中能够发挥对水库在汛期的变化进行有效计算的作用，有助于提高水库汛期汛限水位设计的合理性；有助于改善汛期汛限水位，提高水库的容量，具有重要的现实意义。

参考文献：

[1]唐文，陈钟.基于模糊集合理论的主观信任管理模型研究[J].软件学报，2013，14（8）：4101-1408.

[2]高庆狮，高小宇，胡月等.概率论基本部分与模糊集合理论的统一定义[J].大连理工大学学报，2012，46（1）：141-150.

[3]Zadeh模糊集合理论的缺陷及其改进：C*-模糊集合理论[J].北京科技大学学报，2015，27（5）：513-519.

[4]何涛，房鑫炎.基于模糊集合理论的发电机低励失磁故障识别方法研究[J].继电器，2013，36（2）：1-5.

模糊数学论文篇(6)

关键词 直觉犹豫模糊集（数） 双重犹豫模糊集（数）

中图分类号：C934 文献标识码：A

自1965年Zadah 提出模糊集的概念之后，具有模糊性的多准则决策问题得到了一定程度的解决。Atanassov 在Zadah模糊集的基础上增加一个新的参数――非隶属度，提出了直觉模糊集的概念，能够更加细腻地描述和刻画客观世界的模糊本质。Torra学者 于2010年提出了犹豫模糊集。犹豫模糊集允许元素的隶属度是一个或多个在[0，1]内的值。

虽然犹豫模糊集本身就是传统模糊集的拓展，还有学者在犹豫模糊集的基础上继续对其进行延伸，如Zhu和Xu 等人 提出了双重犹豫模糊集，它是将犹豫模糊集扩展到直觉模糊环境中，即在隶属度的基础上增加一个新的参数―非隶属度，且隶属度和非隶属度都以犹豫模糊数的形式给出。值得注意的是，Zhu和Xu提出的双重犹豫模糊集在定义上具有一定的缺陷性，主要表现在其限制条件过于严格导致的适用范围狭隘。本文将对双重犹豫模糊集的概念进行改进，提出直觉犹豫模糊集的概念，并给出基于t-norm、t-conorm的直觉犹豫模糊数运算法则。

一、直觉犹豫模糊集的定义

定义1 ： 在论域X上，集合D是X中的一个子集。若x∈X，其隶属于D的程度h（x）和非隶属于D的程度g（x）均为有限集合，且满足，，0≤ ， ≤1，0≤ ++ +≤1，其中， +=max{ | ∈h（x）}， +=max{ | ∈g（x）}，则称集合D为双重犹豫模糊集，简称为DHFS。用符号表示为D={|x∈X}。另外，称d（x）=为双重犹豫模糊元素，记为d=。

对于以上定义，有两点需要注意：（1） 当h（x）=且时，条件0≤ ， ≤1，0≤ ++ +≤1将失去意义。（2） 条件0≤ ++ +≤1限制过于严格，其实际要求可以更加宽松。

接下来，本文将提出改进后的直觉犹豫模糊集的定义。

定义2：在论域X上，集合A是X中的一个子集。若，其隶属于A的程度和非隶属于A的程度均为[0，1]之间的元素的有限非空集合，且满足

，使得0≤ A（x）+vA（x）≤1，且

，使得0≤ A（x）+vA（x）≤1。

则称集合A为直觉犹豫模糊集，简称为IHFS。用符号表示为： 。

对于任意xi∈X，其在直觉犹豫模糊集A上的犹豫度。∏A（xi）衡量的是xi对于集合A的不确定程度， A（xi）=1- A（x）-vA（x）且0< A（xi）≤1。

特别地，当，和均只包含一个元素时，直觉犹豫模糊集（IHFS）退化为直觉模糊集（IFS）；当，={0}时，直觉犹豫模糊集退化为犹豫模糊集。当论域X中只包含一个元素时，我们称>为直觉犹豫模糊数（IHFN），记为。

假设在论域X上，集合A是X中的一个子集。若，其隶属于A的程度={0.7，0.75，0.78}，非隶属于A的程度=（0.2，0.22，0.3），则x属于集合A的程度可以用直觉犹豫模糊数来表示，为。该例中的情况不适用于Zhu和Xu提出的双重犹豫模糊数，因为0.78+0.3>1。由此可见，本文提出的直觉犹豫模糊数适用范围更广。

二、直觉犹豫模糊数的运算法则

Zhu和Xu定义了双重犹豫模糊数的运算法则，如定义 3所示。

定义 3 ：在论域X上，d1=（h1，g1），d2=（h2，g2），且d1，d2∈DHFE则d1、d2间的运算规则定义如下：

接下来，本文将提出基于阿基米德t-norm和t-conorm的直觉犹豫模糊数运算法则。

定义 4：在论域X上，令A=，>，B=B∈IHFN， >0则，A、B之间的运算法则定义如下：

其中，l（t）=k（1-t），且k：[0，1][0，∞]为严格单调递减函数。

如果给函数k（t）设定具体的形式，则以上运算法则也将随着k（t）而确定下来。当k（x）=-long（x）时，定义4中的运算法则如（5）―（8）式所示：

此时，直觉犹豫模糊数的运算法则与Zhu和Xu定义的双重犹豫模糊数的运算法则一致。

性质 2：

令，，， 1， 2

从定义3和定义4可以看出，定义3是定义4在看k（x）=-log（x）时的一个特例，也就是说，定义4是定义3的扩展。

三、结束语

与Zadah提出的模糊集相比，Atanassov提出的直觉模糊集能够很好地描述不完全信息，在刻画事物的模糊性时更为准确、自由，因此在实际决策问题中的应用性要比Zadah模糊集强得多。类似地，对应于犹豫模糊集的直觉犹豫模糊集也是这般道理。本文提出的直觉犹豫模糊集是对双重犹豫模糊集的改进，解决了后者在定义上的缺陷问题，且基于t-norm和t-conorm的直觉犹豫模糊数运算法则是双重犹豫模糊数运算法则的扩展。

（作者：中南大学商学院硕士研究生，研究方向：模糊多准则决策方法）

注释：

L.A. Zadeh， Fuzzy set， Information and Control， 8 （2） （1965） 338-353.

K.Anassov， Intuitionistic fuzzy sets， Fuzzy Sets and Systerns， 20 （1986） 87-96.

模糊数学论文篇(7)

【关键词】模糊聚类；家庭成员；模糊相似矩阵

1.引言

客观世界中，存在着大量的模糊现象和模糊概念，如“学习很优秀”，“头发很黑”，等，这里的“头发很黑”等都是模糊概念[1]。而模糊数学正是研究和处理模糊性现象的数学方法。根据模糊数学提出的算法得到了广泛的应用。文[2]实现了DNA序列的聚类，文[3]使用模糊聚类对网页进行聚类优化，文[4][5]通过模糊聚类，实现对用户访问网站兴趣的挖掘。本文通过建立模糊相似矩阵，将客观事物予以分类的方法。

2.定义

下面有关模糊集、及模糊相似矩阵的定理见文[6][7][8]

定义1：X，Y是论域，R：X×Y->[0，1]，称为从X到Y的模糊关系，把R（x，y）称为x和y具有关系R的程度。如果是从X到X的模糊关系称为X上的模糊关系。

定义2[6]：模糊等价关系：若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，对于任意x，y?X，满足：

（1）自反性：R（x，x）=1

（2）对称性：R（x，y）=R（y，x）

（3）（x，y）∈R且（y，z）∈RR（x，z）∈R

定理1[8]设R∈M（n×n）是模糊相似矩阵，则存在一个最小自然数k（k?n），使得传递闭包t（R）=Rk，对于任何自然数b?k，都有Rb=Rk，此时，t（R）是模糊等价矩阵。

通过求传递闭包t（R），将模糊相似矩阵变成模糊等价矩阵。

3.构建模糊等价矩阵

建立模糊相似矩阵：

对文献中，日本学者Tamura给出的家庭成员相貌相似关系，在模糊数学中广泛使用。案例如下：这里有三个家庭，总共16人。每个家庭为4-7人。每人提供一张照片，共计16张照片，由很多个不相识的中学生分别对照片两两进行比较，按相貌相似程度进行评分，相貌越相似，打的分就越靠近1，越不相似，分数越靠近0，分数都在在[0，1]之间。每对照片的相似程度由所有人对他们的评分的平均值确定，得到相貌相似矩阵，如表1所示。题目要求：把三个家庭区分开来（即对这16个人进行聚类）。

本文的解决方法是，使用模糊传递闭包的聚类算法，因为得到的信息里，没有聚类数（三个家庭的信息可以去掉），也没有聚类中心等信息。

其中rij表示xi和xj的相似程度，rij接近1，说明两个人相貌的相似度越高，也可能是一家人，rij接近0，说明两个人相貌的相似度越低，越可能不是一家人。

从相似矩阵R出发，过程RR2R4R8，最多经过log2N+1（N为样本的数目，是20）后，必有R2k=（R2k）2，停止迭代，最终的R2k就是模糊等价矩阵。

表2是相貌相似矩阵传递闭包。

算法参数c=1，求出的模糊等价矩阵。当l=0.6时，得到的l-截集的分类结果：

{1 6 8 13 16}，{2 5 7 11 14}，{4 9 10 12 15}，{3}

3号这个人没有归入某一类，是错误的，准确度是15/16=93.75%。

4.模型评价及改进

本文根据相片中相貌的相似度，构建模糊相似聚类，利用模糊传递闭包的模糊聚类算法，较准确的实现那个家庭成员的聚类。

参考文献

[1]王士同.神经模糊系统及其应用[M].北京：北京航空航天大学出版，1998.

[2]刘丽.DNA序列分类模型[J].安徽农业大学学报，2005， 32（3）：393-396.

[3]沈盈洪，丰翔龙，黄荣游.基于网页聚类的搜索结果优化算法研究[J].计算机应用，2010，30（1）：51-54.

[4]陈冬玲，王大玲，于戈，于芳.基于PLSA方法的用户兴趣聚类[J].东北大学学报（自然科学版），2008，29（1）：53-56.

[5]曾黄麟，刘小芳.模糊中心聚类学习方法的比较与改进[J].四川轻化工学院学报，2004，17（1）：1-8.

[6]陈水利，李敬功，王向公.模糊集理论及其应用[M].北京：科学出版社，2005.

[7]何清.模糊聚类分析理论与应用研究进展[J].模糊系统与数学，1998（2）：89-94.

[8]贺仲雄.模糊数学及其应用[M].天津：天津科技出版社，1983.