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弹性函数的经济学意义精品(七篇)
弹性函数的经济学意义篇(1)
关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值
1导数在经济分析中的应用
1.1边际分析在经济分析中的的应用
1.1.1边际需求与边际供给
设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。
1.1.2边际成本函数
总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C’=C’(Q)．C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C’’(Q0)个单位。
1.1.3边际收益函数
总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)．
R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R’(Q0)个单位。
1.1.4边际利润函数
利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L’(Q0)个单位。
例1某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。
解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：
R（Q）=20Q
L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）
=-Q2+30Q-20
L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30
则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为
L’(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；
L’(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；
L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；
以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。
显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？
1.2弹性在经济分析中的应用
1.2.1弹性函数
设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx=limδx0
ΔyyΔxx=limδx0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)
在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf(x0)%。
1.2.2需求弹性
经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)
例2设某商品的需求函数为Q=e-p5，求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。
解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2
η(3)=0.6<1，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。
η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。
η(6)=1.2>1，说明当P=6时，价格上涨1%，需求减少1.2%，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。
1.2.3收益弹性
收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即
R=PQ=Pf(p)
R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)
所以，收益弹性为EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。
（1）若η<1，则EREP>0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）(1-η)%；
（2）若η>1，则EREP<0价格上涨（或下跌）1%，收益减少（或增加）|1-η|%；
（3）若η=1，则EREP=0价格变动1%，收益不变。
1.3最大值与最小值在经济问题中的应用
最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。
1.3.1最低成本问题
例3设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx3-nx2+px，（常数m>0,n>0,p>0），（1）问每批生产多少单位时，使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相应的边际成本。
解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p，C’=2mx-n
令C’，得x=n2m，而C’’(x)=2m>0。所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。
（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又C’(x)=3mx2-2nx+p，C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。
1.3.2最大利润问题
例4设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000（Q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q
收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000
则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000
L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000
L’’(Q)=-1500<0Q=2000时L最大，L（2000）=340000元
所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。
2积分在经济中的应用
在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。
例5设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C0=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。
解:总成本函数为
C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000
总收益函数为R(x)=500x
总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因为L’’(200)<0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。
在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。
综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。
参考文献
［1］聂洪珍,朱玉芳.高等数学（一）微积分［M］.北京：中国对外经济贸易出版社，2003,（6）.
［2］顾霞芳.浅谈导数在经济中的应用［J］.职业圈，2007,（4）.
弹性函数的经济学意义篇(2)
关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值
1导数在经济分析中的应用
1.1边际分析在经济分析中的的应用
1.1.1边际需求与边际供给
设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。
1.1.2边际成本函数
总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C’=C’(Q)．C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C’’(Q0)个单位。
1.1.3边际收益函数
总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)．
R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R’(Q0)个单位。
1.1.4边际利润函数
利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L’(Q0)个单位。
例1某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。
解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：
R（Q）=20Q
L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）
=-Q2+30Q-20
L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30
则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为
L’(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；
L’(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；
L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；
以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。
显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？
1.2弹性在经济分析中的应用
1.2.1弹性函数
设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx=limδx0
ΔyyΔxx=limδx0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)
在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf(x0)%。
1.2.2需求弹性
经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)
例2设某商品的需求函数为Q=e-p5，求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。
解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2
η(3)=0.6<1，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。
η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。η(6)=1.2>1，说明当P=6时，价格上涨1%，需求减少1.2%，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。
1.2.3收益弹性
收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即
R=PQ=Pf(p)
R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)
所以，收益弹性为EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。
（1）若η<1，则EREP>0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）(1-η)%；
（2）若η>1，则EREP<0价格上涨（或下跌）1%，收益减少（或增加）|1-η|%；
（3）若η=1，则EREP=0价格变动1%，收益不变。
1.3最大值与最小值在经济问题中的应用
最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。
1.3.1最低成本问题
例3设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx3-nx2+px，（常数m>0,n>0,p>0），（1）问每批生产多少单位时，使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相应的边际成本。
解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p，C’=2mx-n
令C’，得x=n2m，而C’’(x)=2m>0。所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。
（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又C’(x)=3mx2-2nx+p，C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。
1.3.2最大利润问题
例4设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000（Q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q
收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000
则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000
L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000
L’’(Q)=-1500<0Q=2000时L最大，L（2000）=340000元
所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。
2积分在经济中的应用
在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。
例5设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C0=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。
解:总成本函数为
C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000
总收益函数为R(x)=500x
总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因为L’’(200)<0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。
在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。
综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。
弹性函数的经济学意义篇(3)
关键词数学知识 经济应用 极限 弹性
中图分类号:G423文献标识码:A
随着社会的发展,应用数学已经越来越深入、广泛地渗入到科学技术、经济生活以及现实世界的各个领域,尤其在现代经济领域中的应用更加广泛,很多数学知识,在现代经济发展、经济分析中起着举足轻重的作用。许多经济学的概念、理论都与数学密切相关。
传统的数学教学内容体系上要求面面俱到,理论上追求严谨,不能适应当今科技快速发展、知识日新月异的时代要求,财经类的学生往往觉得“数学学了没用”,认为高等数学脱离了他们的生活,从而产生厌学情绪;而老师虽然知道数学在人才培养中的重要作用,但却苦于无法用实例说服学生,找不到合适的案例,自然也就无法解决学生对数学的厌学问题,那么高等数学到底有什么用呢,下面就数学在经济领域中的应用简单举例说明。
1 复合函数在经济方面的应用
兑换货币值是日常生活中常见问题,把这种推算过程用复合函数来表示,思路则很清楚。
例如:某人准备从中国去韩国旅游,将10000人民币以1:170的比率换成韩元,但临时因故去不了, 只好又将换好的韩元以1:0.0059的比率换回人民币。问此次人民币再换成人民币的过程损失多少?
分析:如果首先以人民币数X作为变量, 韩元数Y作因变量,则人民币换成韩元的公式是:;又以韩元数Y作自变量,人民币Z作因变量,则韩元换成人民币的公式是: ,则从拿出人民币到收回人民币的过程是一个复合函数,所以此人约损失了元。
2 极限值在经济方面的应用
在投资经营某活动中,是按连续复利的方法来计算利息,能比较全面地反映资金的时间价值。
设本金为,年利率,按复利计息,第n年末本利和为:,若一年按t期计息,当时,于是得到连续复利计算公式:。
3 微分的近似计算在经济方面的应用
在自变量的改变量较小的条件下求函数的增量可近似地用函数的微分来代替,以简化问题的计算。
例如某公司生产某种产品,月产量为,月收入(元),若每月产量从200件增加到250件时,收入改变多少?
分析与解答:公司月产量增加件, 用来估计收入的增加量(元),即公司以后每月的收入大约增加1000 元。
4 利用导数求解经济函数最优值
经济的核心问题是增加利润,降低成本。成本利润、收入需求、价格等经济量,是经济问题中必须考虑的因素。为了达到利润最大、成本最小,就要把握最合适价格、最佳销售量,而这常用到求函数的最大、最小值问题,线性规划、非线性规划问题等经济学中最常见的最优化问题。其实质就是求能够使目标函数达到极值的选择变量的值。
例如一房地产公司有50套公寓要出租.当租金定为每月180元时,公寓会全部租出去,当租金每月增加10元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费20元的维修费,问房租定为多少时可获得最大收入?
分析:可设租金每月元,租出去的公寓有,总收入为,又,令,则得,由于=,因此是函数的唯一极大值点,所以是函数的最大值点,即房租定为每月350元可获得最大收入,最大收入为(元)。
5 边际分析
边际概念是研究经济学核心命题的基本概念,通常指经济变量的变化率。边际是当在某一给定值的附近发生微小变化时的变化情况,它反映了的瞬间变化。利用导数研究经济变量的边际变化的方法, 称为边际分析。利用导数研究经济变量的边际变化的方法是经济理论中的一个重要方法,有极为重要的意义。
例如已知生产某产品的总成本函数(元),求生产1200个单位产品时的边际成本值,并解释其经济意义。
边际成本函数为;时的边际成本为(元)。
边际成本的经济意义是当生产达到1200个单位产品时,如果再多生产1个产品所追加的成本为3元。
6 弹性分析
弹性分析也是经济分析中常用的一种方法,主要用于对生产、供给、需求等问题的研究。弹性概念用来定量描述一个经济变量对另一个经济变量的变化的相对反应速度。
例如已知某商品的需求函数为,求时的需求弹性,并说明其经济意义;
分析:需求弹性函数:。
当时的需求弹性:。
这说明,在时,价格每上涨1%,则需求减少0.54%;而价格若下降1%,则需求增加0.54%。
弹性函数的经济学意义篇(4)
一、综合要素生产率数学模型
采用实际中用得最广泛、分析中最具有代表意义的C―D生产函数法。假设生产函数： 式（l）
其中，Y是产出，K和L是资本投入和劳动投入，t是时间。在式(1)两端求全微分，并简化整理得：
上式中分别为资本产出弹性和劳动产出弹性；设则GY、GK、GL分别为产出增长率、资本增长率和劳动投入增长率，而GA为综合要素生产率。将式(2)改为： 式（3）
式（3）是衡量综合要素生产率的数学模型。它的意义是：产出增长是由生产要素（其中包括资金与劳动）投入量的增加以及综合要素生产率的提高所带来的。
需要指出的是，上述数学模型中测算的综合要素生产率是指扣除了资金投入和劳动投入的贡献以外其他所有能实现经济增长的因素贡献的总和，这个总和包括了制度创新、技术进步、产业结构调整、规模经济、教育进步、随机因素等。
二、基础数据的估计与修正
1.产出增长指标的选用。本文选用了国内生产总值作为衡量产出增长的基本指标，这些数据可以直接从相关统计资料中获得。但为了消除价格因素，增强分析结果的可靠性，根据国内生产总值指数，对以现价统计的国内生产总值按1990年不变价格进行了换算。
2.资本投入增长指标的选用。采用永续盘存法估算出阜新1985年～2003年的资本存量。
3.劳动投入增长指标的选用。选用全市1985年～2003年的从业人数作为劳动投入量的基础数据。
4.要素投入的产出弹性。采用最为普遍的柯布―道格拉斯生产函数（C―D）为估计方程：
其中分别是t时期的国内生产总值，资本投入量，劳动投入量，A0是初始的技术水平，t表示时间，t＝0，l，…，n，是非物化的外生的技术进步水平，是资本投入的产出弹性，是劳动投入的产出弹性，是误差项。对C―D函数取对数后得到：
如果假设规模报酬不变，于是，由此可得：
以下根据上述公式的推导和原理，来估算阜新的C―D函数。对1985年～2003年数据取对数，得表1数据。
(1)规模约束的生产函数估计式为（由于时间变量的t检验值很小，因此不考虑时间量）：
由此可知，
(2)无规模约束的生产函数估计式为：
表1 阜新1985年～2003年要素投入与产出对数表
从上述计量分析的结果看，当无规模约束的生产函数回归后方程并不理想，而有规模约束的生产函数估计式估计的拟合度优，总体显著、单个参数的T值检验都令入满意，估计结果是可靠的，从经济意义上看也是合理的。于是，在大样本统计检验可靠的基础上，采用C―D生产函数估计的结果，确定资本产出弹性＝0.7，劳动产出弹性＝0.3，以此来进行阜新经济增长因素分析和综合要素生产率的测算。
三、经济增长因素及其特征
通过前面的论述和基础数据的准备，现在就利用经济因素的总量分析模型进行测算，得到各生产要素投入的增长对产出增长的贡献，并算出综合要素生产率提高对产出增长的贡献，改革开放以来分年的时间序列分析结果见表2。
表2 阜新TFP及增长因素的计量结果表
从表2的结果我们可以看出，1985年～2003年，阜新经济增长的年平均速度为7.4%，其中资本投入的贡献为89%，劳动投入的贡献为5%，而综合要素生产率则为0.47%，对经济增长的贡献达到6%，可以认为改革开放以来，阜新还处于工业化前期，经济增长方式还是粗放化增长方式。
图 TFP与阜新经济增长因素的时序趋势
从综合要素生产率的时间序列数据(上图)可以看出，该因素波动很大，并且具有明显的阶段和时点特征。从1986年～1990年综合要素生产率比较低，开采的成本大幅上升。1991年～1993年是阜新转型前经济发展最快速的时期，经济增长速度超过了两位数。
1993年以后国家逐步放开煤价，煤炭市场遭遇寒冬。1994年至2000年，这一阶段综合要素生产率在比较低的-8%至3%之间，是比较符合阜新经济发展困难的实际。
2001年阜新被确定为资源枯竭城市经济转型试点城市以后，年平均速度为15.1%，其中资本投入的贡献为64%，而综合要素生产率则为5.44%，对经济增长的贡献为36%，阜新大力推进产业结构调整，机制创新，经济增长趋于合理。
四、结论
弹性函数的经济学意义篇(5)
关键词：高等数学；经济分析；应用
中图分类号：G623.5文献标识码： A 文章编号：
0引言
现代经济学的一个明显特点是越来越多地使用数学,现在几乎每一个经济学领域都要用到数学。从现代经济学作为一种分析框架来看,参照系的建立和分析工具的发展通常都要借助数学。将经济问题转化为具体的数学模型,可以使分析变得具体,知道利弊得失所在,而且还可以把貌似不同但实质相近的问题连接在一起,从而把研究从初步的想法推向深入的探索。可见,高等数学就是作为一门实证性科学,服务于经济管理的研究。下面将具体给出高等数学在经济分析中的的几点应用。
1数学在经济分析中的应用
1.1数量经济学在我国迅速发展
它在经济决策中的重要性越来越为人们所认识，在经济管理中正发挥着越来越大的作用。我们已经取得了一批具有国际水平的研究成果。数量经济学是运用数学方法研究经济学，归根结底它是一门经济学。我们既要十分重视数学，特别是现代数学在经济学中的应用，又要注意防止以数学代替经济学，以数学定理代替经济规律。要让数学分析为经济分析服务，而不是经济分析为数学分析服务。在我国经济体制改革深入发展，新旧两种体制交叉过渡的今天，尤其如此。我国现行的数量经济方法主要来自西方.有如引进技术一样，引进西方的数量经济方法也存在一个消化吸收、创新的问题。社会主义有计划商品经济条件下的经济运行机制，不同于资本主义市场经济，经济数学模型也不会完全相同。我们的国情和制度有自己的特点，我们的经济数量模型也应该有自己的特色。
1.2函数在经济分析中的运用
在经济活动中，消费者与生产者通过市场来交换商品，消费者与生产者从中各取所需，而这种供需关系正是一种函数关系，一般说来需求量是市场价格的单调减函数，与此相反的供给函数则是一种单调增函数。但是真正经济活动中的函数远没有这样简单，下面就其中几个主要函数进行论述。
1.2.1总成本函数
某种产品的总成本是指生产一定产品所需的全部经济资源成本（包括原料、劳动力、设备等等）总额。用函数表达即：C（x）=C0+C（1x）,其中C0表示固定成本，即必须要支付的费用（如厂房等），C（1x）表示可变成本，如原材料费用等。可以看出总成本函数是增函数，由于规模经济，它最初增长很快然后逐渐慢下来，然后随着资源的逐渐匮乏，函数再次增长起来。
1.2.2需求函数
一般说来，价格的上涨会导致购买量的下降。设p为商品价格，q为需求量，由于需求是由多种因素决定的，如果略去价格之外的其他因素，仅讨论价格和需求的关系的话，则需求函数可以表达为：q=（fp），它是单调减函数。
1.2.3供给函数
与需求相对，一般来说当价格上涨供给量也增加。设p为商品价格，q为供给量，由于需求是由多种因素决定的，如果略去价格之外的其他因素，仅讨论价格和供给的关系的话，则供给函数可以表达为：q=φ（p），它是单调增函数。
1.3概率与数理统计在经济分析中的运用
在现实的经济活动中，经常会有根据几种情况进行决策的状况发生，这就需要我们从各个方面去权衡来选择一个最佳方案，这种现象被称为风险型决策。对于风险型决策，我们通常采取期望值决策的方法。例如，某书商与某出版社准备联合出版一系列图书，书的零售价为每本80元，成本为50元，根据通常的销售情况来看，如若半年后书尚未售完，则该书不得不降价至每本20元，半年前的销售情况如表1所示，根据表1，问该书商出多少本书才能获得最大的利润？解：由已知可得，书商的出版方案有3种，出版150本、160本和170本，分别记为A1、A2、A3，记B1、B2、B3分别为半年内售出150本、160本和170本，那么在A1发生时B1同时发生这种情况的利润称作方案A1的条件利润，如表2所示。可得三种方案的期望利润分别是：
E1=4500×0.3+4500×0.3+4500×0.4=4500（元）
E2=4200×0.3+4800×0.3+4800×0.4=4620（元）
表1某书商半年销售表
表2某书商销售方案
综合上述结果可得出第2种出版方案即出版160本书可以获得最大的利润。
1.4利用微积分进行弹性分析
边际分析所研究的是经济函数的绝对改变量与绝对变化率。在现实生活中，我们还需要研究经济函数的相对改变量与相对变化率———弹性分析。在经济工作中，弹性分析所研究的是经济函数的相对改变量与相对变化率，它所分析的是一个经济变量变动百分之一会使另一个经济变量变动百分之几？它所反映的是一个经济变量对另一个相关经济变量变化的敏感程度。在经济分析中，弹性分析的应用也非常广泛，许多现实生活中的经济现象都要用弹性来解释和分析。通常有“弧弹性”和“点弹性”———弹性系数设。
随着金融市场和现代企业制度的建立，高等数学的知识越来越多地渗透到会计、审计、财务管理、市场营销、财政、税务、金融、工商管理等各个经济领域，应用数学作为分析工具的也越来越多，因此，这是经济学进步的一个标志，它使经济学走向定量化、精密化和准确化．在经济学中，对于经济现象、经济运行及其规律的描述与研究，正需要用数学方法、数学思想从而达到它的科学性．在高等数学教学中充分利用数学应用可以避免数学教学从理论到理论，不仅使抽象的数学概念具体化、生动化，更重要的是这种教学方法还有助于解决具体的实际问题，提高学生的学习兴趣、激发学生的学习热情，有利于促进教学效果的进一步提高，也是高等数学教学环节中理论联系实际的一种新的有效途径。
2小结
纵观当今的经济学发展，数学特别是高等数学的运用是其精确且深入化发展的必要条件和工具，且高数在经济学中的作用将会越来越大。高数模型不可能全面地反映出复杂多变的经济现象，而只能反映出其中一部分关系，但正因为这样才能从根本上推动经济学的发展。数学在经济学中的位置虽不能妄加评论，但它无疑已经渗透进经济研究的每一个部分，发挥着越来越重要的作用。
参考文献：
[1]吴赣昌.微积分[M].北京:中国人民大学出版社,2008.
弹性函数的经济学意义篇(6)
【关键词】独立学院；经济数学；教材建设；教学改革
经济数学是高等院校经济管理类专业重要的基础课。通过本课程的学习，一方面要求学生掌握微积分、线性代数、概率统计等课程的基本概念、基本理论、基本运算技能，为后续课程的学习打下良好的数学基础；另一方面通过学习要培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力等，并熟练运算数学知识分析各种经济现象，解决经济管理领域的实际问题。随着社会的进步、学科与知识的进一步渗透与交融，新时期的管理类人才不但要熟悉经济理论和管理模型，更重要的是能运用数学工具分析经济现象、洞悉和挖掘经济活动趋势。因此，在高等教育进入大众化教育阶段，培养具有数学应用能力的管理人才越来越重要，经济数学的教学改革也势在必行。《经济数学基础》教材建设是独立学院基本的教学建设之一，更是经济数学精品课程建设的重要组成部分，教材作为体现教学内容与教学方法的知识载体，是承载教学改革种种思路并传导至教学对象的主要方面，因此，独立学院经济数学教材建设之于教学具有重要的意义。
一、独立学院经济数学教材编写的必要性
1、现有教材不能满足专业综合改革需要。经济数学是高等院校经济、管理相关专业必修的课程，作为应用性较强的公共课，它对于经济学类和管理学类相关专业课程体系的构建、专业人才培养定位起到较大作用。根据学院培养应用型人才的定位，在学院“3+1”人才培养模式、经济管理系各专业的“11342”人才培养新思路下，由于课程设置的整合、优化，原有教材不论是课程体系、教学内容，还是教学课时数，都不能满足管理类各专业的教学改革的需要。
2、现有教材不利于独立学院教学方法改革的实施。在高等教育进入大众化教育阶段，独立学院新生的数学基础与“一本”、“二本”学校的学生存在一定差距，加之基础教育进入高等教育的适应期还有一段时间，从心理学角度来看，此时学生一旦在学习上遇到较大困难，对后续的课程的学习会产生不良影响，所以适合独立学院学生的教学方法和教学内容的教材，就显得尤为重要。
3、通过教材建设有利于师资队伍建设。独立学院建校历史较短，急需培养和造就一批青年骨干数学教师，仅仅通过青年教师教学实践积累，在短时间难以达到效果，同时团队建设也需要一个平台。
二、准确定位、优化教材结构与内容体系
1、准确定位教材、以培养“应用型”管理类人才为导向，以“必需、够用”为主旨。经济数学是经济管理类专业核心的基础课程，其教学目的不但要培养学生抽象思维、逻辑推理能力，更要培养学生的科学精神、创新意识和综合运用数学的能力。同时，教材的使用对象是独立学院的学生，且大部分是文科，因此，教材的编写既要保持学科的完整性、合理性，还要考虑到独立学院培养人才的目标、学生自主学习、接受知识的能力。教材的内容首先要够用。经济数学的教学内容主要包括微积分、线性代数和概率统计，对于理论性强的概念、定理、定理的推导过程、与经济管理后续课程关联不大的内容等，要大胆删减，去枝存干，保留核心的基本知识。其次，教材的内容要实用。经济数学教材不仅包含了大学数学的基本定义、方法，更要体现出数学为经济服务、解决实际问题的功能性，因此，教材编写时，对数学的应用要体现经济特色。比如，常见经济函数与曲线、边际分析、弹性分析、投入产出分析等，不能只作“蜻蜓点水”式的简要介绍，而是要联系现实经济现象和时代背景，以具体实例、模型来体现数学的工具性，让学生充分感受到数学方法在定量研究、分析、解决实际问题的巨大威力。
2、合理优化教材结构与内容体系。教材编写要注意三个“衔接”。一是与中学数学的衔接，二是各章节知识点的衔接，三是数学与经济的衔接。在第一部分内容先介绍一元函数的微分、积分知识，这一版块内容涉及是函数的极限、导数、积分等，研究对象函数，这与中学数学知识联系紧密，大一学生学习接受知识相对容易，然后再介绍二元函数微积分、微分方程，对于线性代数的行列式、矩阵等知识点则可以放到第二学期讲授。其次，数学的定义尽可能从几何直观、经济实例中引出，并给出其经济学解释，从而使得学生深刻理解重要数学的概念，建立数学与经济的联系。教材内容要以数学为主线，重点要体现经济管理领域的数学问题如何运用数学方法来解决，要将理论与实际、数学与经济有机结合起来，达到培养学生数学思维、解决问题的目的。
3、编写和叙述语言要简练，清晰，具有可读性。重要概念、定理的引出、推导要从简单到复杂、从抽象到具体，理论联系实际，让学生有深刻的印象掌握基本的数学方法。比如，给函数导数下定义时，可以先从几何上求曲线的切线、直线运动的瞬时速度、经济函数的变化率着手，再总结归纳，得出导数的定义。在导数的应用上，除了利用导数可以研究函数的基本性态外，重点是对经济函数进行边际、弹性的分析。经济函数的弹性体现了经济变量之间相对变化的关系，那么如何利用商品的弹性解释商家“降价销售”或某些商品价格上涨而利润会增大？这可以结合经济学原理与经济现象来分析，使得学生深刻理解数学知识的重要性，体现出数学的应用价值。
三、编写辅导教材、习题册，制作多媒体课件，选讲数学实验与数学建模
辅导教材、习题册主要以习题为主，培养学生基本的数学运算能力。例题、习题的选择难度要适当，实际问题的分析要以经济、管理为背景。此外，可以在辅导教材中介绍一些数学模型，比如人口模型、投资策略、边际与弹性分析等，加强数学与生活、数学与经济的联系。同时，可以开展数学实验，介绍一些数学软件的使用，比如matlab，mathematica等，讲授如何利用数学软件计算定积分、求解线性规划等，选择一些有代表性的应用型问题，先由教师讲解有关问题的具体背景及相关建模、计算方法和数学应用具体方法，然后由学生分组在课外进行讨论，建立数学模型；最后上机操作运行得出数值解，以此加强学生数学学习的兴趣，培养学生的综合素质。
【参考文献】
[1]朱翠英.加强独立学院师资队伍建设的思考[J].高等农业教育，2006（5）.
[2]吴传生.经济数学课程教学资源建设的探索与实践[J].中国大学教学，2007（4）.
弹性函数的经济学意义篇(7)
关键词：公共支出；比例；两部门模型
一般来讲，根据用途的不同，政府公共支出可以分为三种类型：政府直接为经济行为人提品和服务，例如图书馆、公园、博物馆以及政府机构的公共服务等等，被称为消费性公共支出；政府提供道路、通讯等基础设施以及投资教育、R&D研发活动等等，被称为生产性公共支出；政府通过社会保障体系，以养老金、失业救济、医疗保险等方式对有需要的个人或家庭进行补贴，被称为转移支付支出。与消费性公共支出相比，政府的转移支付支出更多的是通过货币形式实现的，但是由于政府转移支付与消费性公共支出都可以直接提高居民的效用水平，因此可以将政府转移支付归入消费性公共支出。这样政府公共支出就可以分为两大类，消费性公共支出和生产性公共支出。由于消费性公共支出在研究假定中一般只进入效用函数，因此不在本文的研究范围内。
一、文献综述
沿着Romer（1986）、Lucas（1988）的思路，很多学者从外部性是否存在的角度来探讨公共支出与经济增长的关系。Barro（1990）引入了一个新的研究框架，将Aschauer（1988）提出的思想具体化，把公共部门整合到一个规模报酬不变的生产函数中，认为，由于公共支出具有非竞争性和非排他性的公共产品特征，因此公共支出具有外部性，这种外部性导致分散经济的私人增长率是次优的。同时，他将公共支出形成的公共服务作为私人厂商生产的一种投入，并假定生产函数是规模报酬不变的，私人投资是报酬递减的，而公共支出是靠比例税融资的。利用这一模型，Barro发现，在 Cobb－Douglas生产函数形式下，使得长期经济增长率最大化的公共支出占国民收入的比例（τ）应该等于公共支出的产出弹性（α），并且公共支出占国民收入的比例与长期经济增长率之间存在着非单调关系。
以Barro（1990）的研究为起点，一些经济学家对公共支出和经济增长的关系进行了进一步的考察，Barro和Sala－I－Martin（1992）进一步拓展了Barro（1990）的模型，将公共服务区分为三种类型：公共提供的私人产品，具有竞争性和排他性；公共提供的公共产品，具有非竞争性和非排他性；带有拥挤性质的公共产品，具有竞争性和部分的非排他性。并且考察了在不同性质的公共产品条件下，不同的财政税收政策的优劣。Futagami、Morita和Shibata（1993）沿着Barro（1990）的思路提出了一个带有公共资本的内生增长模型，他们认为，Barro（1990）实际上是将作为一种生产性投入的公共支出视为一种公共服务流量，而更为普遍的是假定公共资本存量而不是公共服务流量进入生产函数，如许多公共基础设施――高速公路、机场、电力通讯设施等都是存量。一些经验研究也支持了公共资本在私人生产中的重要性。由于模型中有私人资本存量和公共资本存量两个状态变量，因此与Barro的模型相比，Futagami－Morita－Shibata模型出现了转移动态。他们进一步对转移动态路径进行了研究。Ghosh和Roy（2002）则将Barro模型和Futagami－Morita－Shibata模型结合起来，把公共资本存量和公共服务流量同时纳入到生产函数中，给出了一个一般的模型，指出Barro模型和Futagami－Morita－Shibata模型都是Ghosh－Roy模型的特例，对最优经济增长率以及资源在消费、公共服务的提供、公共投资和私人投资上的分配进行了考察，并探讨了公共支出在公共服务提供和公共资本积累之间的最优分配。
Devarajan、Swaroop和Zou（1996）从公共支出结构的角度考察了不同类型的公共支出对于经济增长的影响，他们在Barro模型的基础上将公共支出划分为生产性公共支出和非生产性公共支出，并且得出了公共支出结构的变化可能导致经济更高稳态增长率所依赖的条件，这一条件不仅依赖于不同类型公共支出的物质生产力，而且依赖于公共支出在不同类型之间的初始分配。他们进一步利用43个发展中国家20年的数据考察了公共支出的不同类型与经济增长的关系，得出了令人惊讶的结论：公共支出中现金支出份额的增长有明显的正的增长效应，而公共支出中资本类型支出份额与人均收入增长负相关。他们认为，造成这一结果的原因在于类似公共投资一类的生产性公共支出如果过度，就会变成非生产性的。这一结果表明许多欠发达的发展中国家过度重视了公共资本支出而忽视了现金支出，前者意味着大量公有企业的出现，后者意味着对于社会保障的支出不足。Glomm和Ravikumar（1997）进一步把生产性公共支出分成两类：一类是作为生产性投入进入最终产品的支出，如对于道路、机场、港口以及公共研究部门等基础设施的支出；另一类则是可以提高生产技术水平的支出，最典型的是政府对教育的公共支出。Eicher和Turnovsky（1999）给出了一个一般的非规模增长模型，认为，对于公共支出与经济增长关系的进一步考察应该是在一个非规模增长模型中进行。
二、模型及其结论
1.模型基本假定
本文在Eicher和Turnosky（1999）的分析框架内引入了生产性公共支出，认为生产性公共支出应该作为一种类似于劳动、资本的要素投入进入生产函数。原因在于：一方面，随着市场规模的不断扩大，专业分工日益深化，一种产品的生产和销售已不仅仅局限在某一个厂商或者某一个狭小区域，这样在一种产品的生产和销售过程中，用于运输、通信联络等方面的成本比重不断增加；另一方面，运输、通信联络等活动所使用的公共基础设施均来自于生产性公共支出的投资，因此生产性支出已经成为生产活动中不可缺少的要素，从而能够进入生产函数。
假定整个经济只生产两种产品――最终产品和新技术。其中，生产最终产品需要四种要素投入：社会技术存量、劳动、物质资本以及生产性公共支出，因此最终产品的总量生产函数形式为：
其中：Y表示最终产品的产出总量；A表示社会技术存量；K表示物质资本存量；N表示人口（劳动力）数量，我们假定人口增长率为N・N=n，保持不变；G表示生产性公共支出；θ、ψ、χ分别表示劳动、资本和生产性公共支出投入到最终产品生产部门的比例。
为了方便起见，假定经济中不存在折旧，全部最终产出中用于总消费以外的部分全部用于物质资本积累，即：
与物质资本相对应，新技术作为一种公共产品由技术部门生产，技术部门生产函数为：
在这里，技术部门使用了与最终产品部门相同的四种要素投入：技术、劳动、资本以及生产性公共支出。1-θ，1-ψ，1-χ分别为劳动、资本和生产性公共支出投入到技术部门的比例。
2.模型
假设经济中两个部门生产函数均采用Cobb-Douglas函数形式，并且遵循很多内生增长文献的做法；χ为生产部门投入资本的比例，假设资本只进入最终产品生产部门，而技术生产部门不需要资本投入，即χ=1，ηk=0。假设两个部门都是规模报酬不变的，那么生产函数（1）、（3）转化为：
我们来考察一个中央计划问题，社会计划者的目标是使得经济中代表人效用最大化，目标函数为：
其中，c代表人均消费。效用函数采用了常用的替代弹性形式，跨期替代弹性为1γ>0，ρ为贴现率。
约束条件为：
所以,在规模报酬不变的条件下，有βA=βk，即=,根据产出弹性的定义，我们可以认为σN=ηN,其经济学含义可以解释为在假定所有经济行为人同质的条件下，同一劳动力无论是投入到最终产品生产部门还是技术生产部门，其贡献大小是相同的。因此，利用βA=βK和σN=ηN两个条件，我们可以将（14）式化减为，qaFσG
3.模型基本结论
上述结果与一般的经济学直觉是恰恰相反的，一般认为产出弹性越高，生产性公共支出的投入比例应该越高，从而实现产出最大化。究其原因，可能是由于我们在本文中所探讨的是一个中央计划问题，政府的目标是保证经济的稳态增长，因此ηGσG意味着私人资本对最终产品生产部门投资不足，为了保持经济的稳态增长，就要求政府提高最终产品生产部门生产性公共支出的投入比例；只有当ηG＝σG时，私人投资在两个部门是无差异的，此时政府无需调整生产性公共支出在最终产品部门和技术生产部门的分配比例来保证经济的稳态增长。因此，（15）式可以看作是政府调整生产性公共支出在不同部门投入比例的规则。
由此我们可以认为，政府对生产性公共支出在不同部门投入比例的选择，取决于生产性公共支出在不同部门产出弹性ηG和σG的比较。
三、结论
从以上分析可以看出，模型结果具有很强的实践意义，特别是对于我国政府公共支出政策的制定而言。在我国，由于政府主导型经济体制以及大量国有企业的存在，政府公共支出对于整个经济的长期稳定增长是至关重要的。生产性公共支出不仅提供交通、通讯等基础设施，以国有资本的形式直接投入生产，还投资教育和R&D研发部门等技术生产部门。这就需要我们制定合理的公共支出政策，在产品生产部门和技术生产部门有效地分配公共支出。
本文提出了政府在最终产品生产部门和技术生产部门分配生产性公共支出的基本规则。为了保证经济的长期稳定增长，这一分配比例的调整要取决于生产性公共支出在两个部门产出弹性大小的比较。例如，如果生产性公共支出在最终产品生产部门的产出弹性大于其在技术生产部门的产出弹性，就有可能出现最终产品生产部门较技术生产部门增长过快的问题，从而破坏经济的稳定增长，这就意味着随着生产性公共支出总量的增加，政府应该将更多的生产性公共支出投入到教育、R&D等技术生产部门，同时降低投入到最终产品生产部门生产性公共支出的比例，以保证两个部门的协调增长，不至于出现某个部门增长过快的情况，从而实现经济的长期稳定增长。
为了保持我国经济的持续健康发展，中央和各级地方政府必须合理分配生产性公共支出在最终产品生产部门和技术生产部门的分配比例，目前的情况下就是要加大教育和科学技术部门的投入，逐步摆脱粗放型的经济增长方式，从而促进国民经济的健康发展，促进社会主义和谐社会的建设。
参考文献：
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Study on the Public Expenditure in Constructing Harmonious Society
ZHANG Shuai1 LI Yanbing2
(1. School of Economics, RUC, Beijing 100872; 2.Information Center, Xinhua News Agency, Beijing 100803)
Abstract: This article discusses the relationship between productive public expenditure and long-term economic growth with a two-section growth model, and gets the following conclusion: the amount of input of government productive public expenditure depends on the comparison of the output elasticity of different sectors. This conclusion provides a strong theoretical support to the construction of harmonious and innovative society and the mode of economic growth through the change of government public expenditure.
