高一数学导数概念篇(1)

一、激发学生的兴趣，促其积极参与到概念的形成过程之中

概念的形成过程，是一个创造性的探索过程，不是被动的接受过程。学习数学概念时，很多学生有一个很不好的惰性习惯：认为数学概念是枯燥的条条框框，是数学家们凭空想象的，这是他们的事，对概念的形成过程漠不关心。以为只要凭死记硬背，能记住书中的概念原话就是掌握了概念的实质，就会应用概念解决问题了，这是极其错误的。学习概念时，我们不光要知其然，还应知其所以然。

教师以导数的概念为例。为什么会有“导数”的概念出现呢？这是因为在自然科学和工程技术中出现了很多，如：变速直线运动的瞬时速度，曲线的切线斜率，电流强度，化学反应速度，生物的繁殖率，边际成本，边际收入等等问题，如果抛开它们各自的实际意义，单从结构形式上看，它们都具有完全相同的极限式。能否准确地从这些不同的实际问题中得出一致的结论式：，是导数概念形成过程的关键。因此，我们在教学导数概念时，可以讲一点关于微积分起源的数学史知识，以激发学生的兴趣，培养其探索精神。应不惜花费时间、精力，特别注重对引入导数概念的案例进行分析。比如：

1、求变速直线运动的瞬时速度

虽然学生对“瞬时速度”比较陌生，但对“平均速度”较熟悉，我们就可引导学生求出这段时间的平均速度：，进一步引导学生得出t越小，速度的变化就越小，与时刻的瞬时速度v（）越接近这一事实，从而得出：这一结论。

2、求曲线的切线斜率

首先应讲清切线的定义：它是由割线运动得来的。而割线的斜率学生熟悉，割，割线运动成切线的过程（可以通过图形演示法，让学生直观地得出），就是的过程。自然可以得到切线的斜率切。

处理这两个案例时，我们都是在学生原有知识的基础上，通过运动的思想方法，运用极限这一工具来完成的。让学生积极参与到案例的分析、解决过程之中，有助于学生弄懂案例，得出的结论学生是信服的。为导数概念的形成收到了水到渠成的功效。

二、因势利导，理解概念的本质，掌握概念的不同表达形式

1、搞清了引入概念的案例后，引导学生透过现象看本质，找出案例所表现的共同特征，适时地告诉学生这一共性即是该概念的本质属性，由此产生出的数学概念学生就不会感到太抽象、难以理解了。

如在讲完瞬时速度和切线斜率切以后，学生会发现虽然它们的实际意义截然不同，但从数学结构形式上看，它们却完全相同，即：都是自变量的增量趋于0时，函数的增量与自变量的增量之比的极限。这也正是导数概念的本质所在。由此抽象出的导数概念，学生是可以理解，容易接受的。

2、概念得出后，如有等价表达形式，应让学生熟悉概念的等价表达形式，以便学生更好地理解、掌握概念。

如由导数的概念可得出导数的三个等价表达式：

（1）

（2）

（3）

若：，则

三、通过练习，掌握概念，在概念系统中强化概念

概念讲完后，应及时进行有针对性的练习，使学生加深对概念的掌握，跳出狭义的概念圈子，从宏观全局层面理解概念，在概念系统中强化概念，进而完善概念的理论体系。如：

1、由导数的概念可得求导数的三个步骤

（1）求增量：

（2）算比值：

（3）取极限：

由此，可求出几个基本初等函数的导数（公式）。

2、可以补充下列练习，检测学生对导数概念掌握的情况

（1）;

（2）;

（3）。

如果单是死记硬背导数的概念，就很难对⑴中进行的变通，也很难看出⑵中“-3h”就是自变量的增量等等。

3、可以在概念的系统中，找出各概念的联系与区别，研究概念的正反面，达到强化概念的目的

譬如：

（1）对连续与可导，导数与极限的关系进行梳理比较，既可以帮助学生对旧概念加深记忆，还能进一步加深学生对导数概念的理解;

（2）知道了可导以后，我们还可以研究不可导的情况，以此对可导有一个全面的认识。如：

问：函数f（x）在连续点x0不可导有哪几种情况？

答：这一极限不存在有哪几种类型，函数f（x）在连续点x0不可导也就有几种类型：

①左、右导数存在，但不相等：

如：y=|x|在点x=0的左、右导数存在，但不相等。

②左、右导数至少有一个不存在：

如：f（x）=右导数不存在，左导

数。

左、右导数至少有一个是无穷大：

如：f（x）=在点0处，

四、通过总结和复习，不断加强和巩固概念

在讲完每一单元的内容后，要及时对已学知识内容进行总结。由于总结时内容较多，因而需要高度概括，使内容简明扼要，条理分明，便于学生记忆，通过总结，促使学生学习的知识系统化、条理化，而不支离破碎 。

高一数学导数概念篇(2)

由于数学学科具有的逻辑性，数学学习变成对于数学逻辑过程的学习，而数学教学也就成了对于数学逻辑过程的教学。在以数学逻辑过程为教学目的的教学过程中，“填鸭式”的教学方法已被逐渐淘汰，取而代之的是“引导法”。在应用“引导法”教学的过程中，教师通过多种方式引导学生进行观察思考、研究探索和总结归纳全过程，从而对数学思想、数学概念产生整体的把握。其中，数学概念是对某一数量关系或者空间形式的本质反应，其具有高度的概括性，对于学生来说往往难以理解。教师可以利用引导法带领学生重现概念形成的过程，体会蕴含其中的数学思量和逻辑理论，增加学生对于数学概念学习的深度，提高概念学习的有效性。

一、引导学生主动探究概念

高中阶段的很多概念是对某一一般现象的总结归纳，有着高度的概括性和抽象性。如果要求学生死记硬背，不仅不能达到良好的教学效果，还有可能对后面的学习产生不良影响，制约学生思维能力的发展。所以，在总结归纳类概念的教学过程中，教师可以事先根据难易程度将概念进行分解，然后由易到难地向学生呈现，引导学生对这一现象进行观察和思考，最后运用一定的计算方法和数学思想对其进行总结，归纳出其中蕴含的规律，概括出数学概念。这一过程不仅加深了学生对于数学概念的理解，还锻炼了学生的思维推理能力和总结概括能力，有助学学生的全面发展。

例如在《等差数列的概念》的学习中，教师向学生呈现这样的几组数列：1，1，1，1，1…；1，2，3，4，5，6…；2，4，6，8…；-8，-6，-4，-2…；……然后让学生观察这几组数中存在怎样的规律和特征。学生能够非常容易地总结出，从第二项起每一项与它前面一项的差等于同一个数。这时，教师可以引导学生求出这个差，然后观察这个数的特点即为常数。通过两次观察和总结，学生就能够明确等差数列的两个特点：“第二项起，每一项与前一项”，“等差一个常数”。另外，在这样的探索过程中，学生往往会有特别的发现，例如数列1，1，1，1……学生就会产生这样的疑问：相差为零的数列是不是等差数列？这时，教师只需要引导学生将这个数列的特点与总结出来的数列的特点进行对应比较，就可以得出结论。这样的教学过程不仅使概念不再只是一句话，而且成为学生自己的学习成果，可以提高学生的学习兴趣和动力。

二、以概念变式引导学生精确对概念的理解

数学概念往往有着严格的用词要求，一些概念一旦改变说法或者替换掉某个词，概念的准确性就会有所降低。教师通过引导学生对各种概念变式的准确性进行判断，可以帮助学生精确对概念的理解。概念的变式一般概念变式和非概念变式。概念变式是指对概念的外延集合进行变式，非概念变式则是对概念对象的某些与本质无关的属性的变式。学生通过对这两种变式的思考和判断，可以更多地认识与概念相关的属性和外延，从而精确地认识概念，避免错误地使用公式或者数学模型。

教师在进行概念的变式训练时，可以通过一系列的问题引导学习概念。例如周期函数的概念：“对于函数y=f（x），若存在常数T≠0，使得f（x+T）=f（x），则函数y=f（x）称为周期函数，T称为此函数的周期。”如果把T≠0改为T∈N，它与概念的原型表达的含义还相同吗？其所包含的范围还相同吗？如果仍然相同，那两者之间有没有区别？概念的变式也可以用一些题目来表现，其中概念特性的改变隐藏在题目给出的条件中。这种概念变式的练习难度较高于第一种，其没有明确地给出概念改变的地方，要求学生能够熟记概念的各个特性。请用另一种说法表达这个概念。教师在提出这几个问题时，要注意结合使用，层层递进，引导学生加深思考，认识到概念的本质特征。例如题目中，分母不可为零，所以x不可能为π。

三、引导学生联系新旧知识

很多数学概念是在旧知识的基础上发展起来的，教师可以引导学生将新旧知识联系起来，帮助新知识的理解。例如在学习完《数系的扩充》之后，教师可以带领学生复习有理数、无理数等概念，然后要求学生用维恩图等图表示出各个概念之间的包含关系。这种将方法不仅可以使学生再次了解概念的含义，还可以使学生清除概念之间的相互关系，明确概念的包含范围。另外，教师还可以引导学生将概念按照一定的顺序进行排序，例如包含范围的大小、一般化到特殊化的顺序。例如在点、线、面的关系的学习中，引导学生观察其位置关系证明定理之间的关系，将其按照一般到特殊层层递进的顺序排列起来，并将其中有其他关系的定理用线段连接起来，并用箭头表示其关系。

高一数学导数概念篇(3)

【关键词】高中数学;概念教学;策略

数学概念是数学学科的基本组成元素，是数学之本、解题之源。然而，在学习数学的过程中，很多学生恰恰就是因为对数学概念的一知半解，对概念的理解只是停留在形式化的表面，而没有深入了解概念的内涵，从而导致在解题过程中出现了很多的问题。面对这些问题，作为高中数学教师，我们应当如何开展数学概念教学工作呢？

一、数学概念的引入

概念的形成是一个积累渐进的过程，因此，在概念教学中要遵循从具体到抽象，从感性认识到理性认识的原则。

（1）用实际事例或实物模型引入概念。在进行概念教学时，应注意创设情境，让数学与学生的生活结合，在现实问题的解决中发现数学概念、形成数学思想方法，更能促进学生在以后遇到相关问题时自觉地运用数学经验去解决问题。

（2）在旧概念基础上引入新概念。任何数学概念都有与之相关的概念，在教学中以学生已掌握的知识为基础，引导学生探求新旧概念之间的区别和联系。例如，在引入偶函数这个概念时，教师可以让学生观察熟悉的函数f（x）=x2，g（x）=|x|的图像，学生很容易看出图像关于Y对称。教师提出问题：你能从数的角度说明它为什么关于Y对称吗？学生根据初中对对称的认识，利用自变量x的值对称取值，观察他们的函数值。于是，学生计算了f（1）、f（-1）、f（2）、f（-2）、f（3）、f（-3），学生猜想，x取互为相反数的两个值，它们的函数值相等。教师追问：是对所有的x都成立吗？于是，学生计算f（-x）与f（x），发现相等，然后教师给出这类函数的名字为偶函数。

二、数学概念掌握和理解

数学概念之间，既相互联系又相互区别。在教学中，我们可以把相近的或学生易于混淆的数学概念搜集整理，并引导学生进行对比，找出其联系和差异，在比较的过程中使学生深刻理解和记忆概念。如平面向量与空间向量，平面角与空间角，函数、方程与不等式，映射与函数等，在教学中要尝试引导学生去寻找、分析其联系与区别，使学生掌握概念的本质。如函数概念有两种定义：初中给出的定义是从运动、变化的观点出发;高中给出的定义是从集合、对应的观点出发。从历史上看，初中定义来源于物理公式，而函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，它可用图像、表格、解析式表示，所以高中用集合与对应的语言来刻画函数，抓住了函数的本质属性，更具有一般性。

三、概念的巩固

正确的概念形成之后，往往记忆不牢，理解不透，这就要求采取措施，有计划、有目的地复习巩固，在应用中加深理解和提高认识。在平时的教学实践中，我尝试了以下两种方法巩固概念。

其一，利用变式巩固概念。在引导学生着重正面理解概念的同时，也可以通过反例以及容易引起对概念发生误解的问题，通过设问和变式来正确地把握概念。

其二，利用旧概念巩固新概念数学概念形成之后，通过具体例子，说明概念的内涵，认识概念的“原型”，引导学生利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用。学生通过对问题的思考，尽快地投入到新概念的探索中去，从而激发了学生的好奇心以及探索和创造的欲望，使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。

四、新概念的应用

在掌握概念的过程中，为了理解概念，需要有一个应用概念的过程，即通过运用概念去引导学生利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用，是数学概念教学的一个重要环节，此环节操作的成功与否，将直接影响学生对数学概念的巩固，以及解题能力的形成，在学习任何一个概念之后，我们都会完成教材中的例题练习，来巩固概念，而这一环节实质上就是学生课前自学质疑、课堂交流展示、互动探究等过程，也就是解题教学过程。学习了一个新概念后，一定要把它与相关的概念建立联系，明确概念之间的关系，从而把新概念纳入概念体系中，即在概念体系中进行概念教学，对于容易混淆或难以理解的概念，因此，前面应用概念的目的就不仅仅是巩固概念这一条，还应该科学地整理来自于例题习题训练中所生成的感性的理解，借助典型示例，运用分析比较的方法，挖掘概念间的联系和区别，以及分析应用概念过程中出现失误的原因。

总之，在数学教学过程中，概念教学不只是整个数学教学工作的重要组成部分，更是开展一切数学教学活动的前提条件，只有搞好了概念教学才能够进行接下来的学习活动。因此，每一个数学教师都要充分认识到概念教学的重要性，并且认真对待概念教学工作。这样才能够为以后教学活动打下坚实的基础，从而促进数学教学质量的提高。

参考文献：

[1]于萍.新课标下高中数学概念教学的探究.数学大世界：教师适用，2011（12）.

高一数学导数概念篇(4)

（建东职业技术学院，江苏 常州 213000）

【摘　要】一直以来，高等数学课程学习困难、教学效果不显著，给专业课程的学习带来一定障碍。从教与学两个不同的角度分析了高等数学学习过程中遇到的问题后，给出了概念教学的对策。

关键词 高等数学；数学概念；教学

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式，正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提。数学概念教学是课堂教学的一个重要组成部分，如何教好概念课，让学生深刻理解并准确掌握数学概念，是学生学好数学基础知识，提高学习成绩的前提，也是培养学生能力的关键。

1　高等数学概念的特点

高等数学是变量的数学，它研究变量的运动过程、无限过程；初等数学是常量的数学，它研究静态问题、均匀问题，高等数学从观点到方法都和初等数学有着本质的差异。高等数学的思想方法中，蕴涵着丰富的辨证唯物主义的思想，表现出相互依存与相互转换的对立统一关系，如常量与变量的关系，有限与无限的关系，近似与精确的关系等。刚从中学跨入大学校门的新生，他们还习惯于用静态、有限的方式来思考问题，所以教师在讲授高等数学的概念时，要求学生在思维模式上有本质的转变，从常量转向变量，从有限转向无限，从而把握高等数学的基本思想和方法。

2　学生学习高等数学概念的现状

概念是高等数学的基础，基础夯不坚实会严重影响高等数学的学习。在实际的教学过程中我们发现，每个教学班大概会有50%的学生虽然花大量的时间学习高等数学，上课认真做笔记，恨不得把老师黑板上写的每个字都记下来，下课也会做大量的习题，但到最后还是有30%左右的学生不能通过这门课程。无论是课堂提问还是与学生课后交流，我们发现一个普遍现象：60%左右的学生对高等数学中的概念不重视。我们做过一个小范围的调查，调查400名学生学完《极限与连续》后对本章基本概念的掌握情况，此次调查结果大致是：完整说出极限和连续概念的人数为15%，大概了解极限和连续概念的人数为25%，对极限与连续有点印象的人数为20%，几乎不知道极限与连续概念的人数为40%。在后续章节的教学中，我们又进行了类似的调查，最终与期末考试的成绩进行对比，结论非常明显：基本概念掌握好的同学无论是基础题还是能力题都做的比较好；对高数概念一知半解、只会套公式的同学的基础题还行，但是能力题的得分几乎为零。高等数学的概念通常会以公式的形式出现，刚从中学跨入大学校门的新生，受中学教育的影响，把数学的学习简单归纳为背定理和公式，套定理和公式。高等数学的学习不仅仅是会运用定理和公式，更应会运用所学知识灵活处理实际问题，培养学生分析问题，解决问题的能力，这些能力需要在学习基本定义、定理的过程中慢慢积累，因此在高等数学的学习中，概念的教与学是非常重要的环节。

3　高等数学概念教学的重要性

高职教育强调学生对职业技术的掌握,强调学生的应用能力和实践动手能力，为此课时都主要放在专业课的教学和实习实训上，在高职的课程设计中基础理论课教学时数一般都不多，高数老师在有限的课时内，要系统完成一元微分学的教学内容，势必每堂课包含的教学内容会非常多，通常是高中课堂的三、四倍，因此在课堂上教师不可能像高中教学那样通过反复讲解和训练的方式达到既定教学目标，只能靠讲授基本的概念和定理，在理解概念的基础上加深知识点的理解，这也培养了学生的自学能力。我们对高等数学在后续专业课中运用的广度和深度做过调查，发现专业课程对高等数学的需求绝大多数是基本概念和定理的运用，因此更要突出概念教学。一般来说，理工类专业的后续课程都需要用到导数和微分，而复合函数的导数是难点，绝大多数学生都学得不扎实，简单常见的复合函数会求导，但碰到复杂一点、特别是分段函数的求导时，就会束手无策，这也使得专业课老师对高数老师颇多微词。在学生的问卷调查中发现：60%的学生不知道复合函数、基本初等函数和导数的定义。在讲解导数时，我们在不同的教学班做了对比实验，在甲教学班讲复合求导法则时，先详细复习基本初等函数的定义、复合函数的分解和导数的定义，并且加强导数定义类题目的训练，用定义推导了几个基本函数的求导法则，对复合函数链式法则做了简单的说明，并要求学生记忆基本概念和定理；在乙教学班直接讲解复合函数的求导法则，没有对基本初等函数的概念，复合函数的分解进行复习，把教学重点放在求导公式的记忆和应用上，最后用同难度和数量的题目进行测试，发现强调概念教学的甲班对导数的掌握情况，无论从基础题还是能力题都要比乙班好30%左右。虽然不同的教学班会有一些不确定的随机因素影响结果，但一般来说差异不会这么大，所以概念教学是非常重要的。

积分在经管类专业课程中使用较多，学生一般只会机械地套用基本的积分公式，解决简单的积分问题，但由于积分公式比较多，学生感觉记忆负担较重，碰到类型相近的问题经常混淆，这些问题产生的原因是学生对原函数的概念的理解不透彻，甚至有些学生连原函数的概念都说不出，更谈不上灵活运用积分了。如果学生能够吃透原函数的概念，书本上那些基本积分表根本用不着记忆，它只不过是求导公式的逆运算，记住了求导公式，弄清楚了不定积分的概念，就能很容易记住积分表了。不过绝大多数学生对原函数的概念只是停留在字面的理解，搞不清它的实质，也就搞不清积分与导数之间的关系，感觉不定积分学起来比较费劲，从而给定积分的学习带来很大的困难。

总之，无论是教还是学，为了让高等数学这门工具性学科更好地服务于专业课，在高职教育“必须，够用”的理念下，概念教学是解决诸多矛盾的行之有效的方法之一。

4　高等数学概念教学的注意事项

高等数学概念是一系列探索活动的产物，我们应该让学生亲历知识发现的过程，在暴露数学概念生成的思维方式上多下功夫，并注意揭示出概念的本质，完成由较为直观的表述向严格的形式化表述的转化，把生动活泼的理性思辨通过数学概念的生成传导给学生，实施能动的心理和智能的导引。高等数学的概念通常比较抽象和严谨，因此概念课容易给人枯燥乏味的感觉，学生会比较排斥它，教师在讲课时，要讲究一些技巧，把严谨的概念用通俗易懂的语言描述（如原函数概念描述成导数的逆运算，用加和减、乘与除的关系类比两者的关系），可以用形象直观的图象语言来描述（如极限概念），也可以用专业课程中的专有名词来描述概念，让学生提前感受高数的作用（如经管专业中的边际就是导数）。另一方面，学生上概念课有一种错觉：为什么我把概念背得滚瓜烂熟，但不会解题呢？事实上，学生会背概念不一定表明他已获得概念，真正意义上的获得概念，就是运用概念做出判断和推理，能够根据概念解决数学问题，因此教师在讲授概念时不能就事论事，死抠书本，概念的引入要合乎逻辑, 更要合乎情理；概念之间要讲究逻辑次序， 更要注意认知次序。针对相同的数学概念， 不同的时代、不同的时间、不同的教学对象在理解的深度、侧重点以及要求上都不相同，这要根据自己的理解选取不同的诠释方法，体现各自的风格。

参考文献

［1］毛京中.高等数学概念教学的一些思考[J].数学教育学报,2003,5,12(2).

［2］王华丽.高等数学中极限概念教学的思考[J].科技创新导报,2012(1).

［3］王树禾.数学思想史[M].北京:国防工业出版社,2003.

［4］禹辉煌.高等数学中概念体系的建构[J].湖南人文科技学院学报,2004,10(4).

高一数学导数概念篇(5)

关键词 高等数学；教材；全导数

中图分类号：G642.0 文献标识码：B 文章编号：1671-489X（2013）12-0098-02

导数概念是微积分学中最重要的概念之一。现行高等数学教材中主要讲述一元函数的导数、多元函数的偏导数、方向导数、复合函数的全导数等概念。全面、系统、准确地理解并掌握导数概念是微积分学中最基本与最重要的教学目的之一。为了在实际教学过程中能够顺利地完成与实现这一教学目的，基于对高等教学多年的教学实践中教与学两方面反映出的问题的总结分析，笔者认为现行高等数学教材中关于“全导数”概念的命名有值得商榷之处。

数学思维的突破点为数学发展历程中的一个重要转折点，也为学生的学习难点，学习者的认知过程会“重演”它的发展经过。因此，就数学教学过程而言，学生就会有一些问题：“全导数”在什么样的情况下提出来的？如何理解“趋近于”？想要弄清楚这些问题，就要认真研究数学的发展历程，站在哲学的视角去认识导数。通过这种方法不仅能够帮助了解导数的概念，还能够帮助构建准确的数学概念。

回想导数概念的发展历程，从中得知导数的内涵要早于极限的内涵，就像积分要早于微分一样。大多数人都知道，于古时候的穷竭法里已有积分内涵的萌芽，然而积分的内涵与方法差不多是和近代力学一起出现并发展起来的，其也经过一段时间的酝酿。

同济大学数学教研室编的《高等数学》（第四版）中关于“全导数”概念的表述为：将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形。定理：如果函数u=j（t）及v=ψ（t）都在点t可导，函数z=?（u，v）在对应点（u，v）具有连续偏导数，则复合函数z=?[j（t），ψ（t）]在点t可导，且其导数可用下列公式计算：

公式中的导数称为“全导数”。用同样方法，可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形[1]。目前国内高校选用较多的一些新编高等数学教材中大都沿用这种表述[2]。

对于高等数学教材中导数概念的定义具有很多的争议，很多人认为微积分是将极限理论作为理论前提的，极限运算为微积分运算的一种方法，学生只有掌握好极限，才有可能将导数知识学好；然而也有一部分人认为，极限理论的学习一直为微积分学习中的一个难点。

基于这种定义，明显存在一些问题。

1）与多元函数的偏导数概念相比较，这种“全导数”仅仅是针对多元函数中复合函数求导数的一种特殊情形提出来的。就复合函数而言，复合过程比较复杂，有一元函数与多元函数、多元函数与多元函数，中间变量的个数为两个以上等情形。而上述“全导数”定义中的复合函数只是一个自变量的函数，只不过同一层次的中间变量多于两个，本质上讲这种复合函数仍然是一元函数。仅此原因就引出“全导数”概念，其理由是不充足的。

2）命名中“全”字的汉语意义中，有“全面、全部、全体”等含义，用来表述一种特殊情形下的导数，逻辑上直觉表现为“定义过宽”。这种“全导数”概念与一元函数的导数、多元函数的偏导数、方向导数、全微分概念的逻辑关系难以界定[3]。

3）反映在实际教学过程中，对于学生理解有关导数、偏导数、方向导数、全微分等概念会形成障碍。

①由导数概念的实际背景，知道函数变化率就是导数。基于导数的思想及其内涵，教材中一元函数的导数、多元函数的偏导数、方向导数的定义都是建立在极限理论基础之上，这些概念的一致性是显然的，而所谓“全导数”概念并不具备这种一致性。学生在学习过程中总是自觉不自觉地把这些导数联系起来，教师虽然可以对此做出解释，却陡增节外生枝之感。

②全微分概念是多元微积分学中又一重要概念，教材中重点讨论偏导数与全微分之间的关系。由于所谓“全导数”概念的提出，教学过程中必须对其与全微分概念之间的关系加以解释，以解学生想当然地将全导数与全微分联系之惑，否则对于顺利理解全微分概念势必形成干扰。

通常情况下，不可以用函数?（x）于x1的极限求出?（x1）。如果?（x）在x1连续，然而导函数却不同，即使条件不强也能够这样做。定理：假设函数?（x）于区间[x1，x1+k]（k>0）里连续，并且当x>x1时导数为有穷?（x）；如果?（x1+0）是存在的，那么导数?（x1+0）=导数?（x）。经过证明发展，其具有两方面的意义。

第一方面的意义：导函数于某点的单侧极限存在，那么此点的同侧导函数一定会存在；如果该左右极限均相同，极限就为此点的导数。这表明导函数的极限能够求解导数值。该种方法在点比较特殊的时候，导数很难求出来，然而采用导函数单侧极限来求解就比较容易。

第二方面的意义：如果某点的导数是存在的，那么导函数于此点的左右极限均在而且相同，这也说明导函数不可能存在跳跃间断点。也可以说，存在跳跃点的函数是不存在原函数的，也就是不可能为哪个函数的导函数。这表明含有跳跃点的函数是不可能求出不定积分的。

综上所述，究其原因是由于“全导数”概念的命名形成的。想要解决这个问题可以采用两种方法：第一种方法是重新命名高等数学教学中导数的概念；另一种方法就是不命名，仍叫其原来的名称。作为教材中复合函数求导法则的内容，如果将导数命名为“复合导数”，不足以表达所有复合函数的导数，似为有些不妥。笔者认为，联系高等数学的教学实际，为了突出并顺利地理解掌握一元函数导数、偏导数、方向导数、全微分等有关概念，本着教材编写中删繁就简的原则，避免小题大做，只将其作为“链式法则”中的一个导数公式即可，不必做“全导数”的命名。

参考文献

[1]同济大学数学教研室.高等数学：下册[M].北京：高等教育出版社，1996：30.

高一数学导数概念篇(6)

关键词:高中数学;概念教学;必要性;教学方法

中图分类号:G623.2 文献标识码:A 文章编号:1002-7661(2012)02-00-192-01

高中数学概念是数学知识的极为核心的部分,而当前时期教师在教学中对于这部分核心知识的忽视,不仅极大地影响了其自身教学的有效开展,还使得学生的整体数学水平得不到有效的提升。缺乏必要的数学概念储备,往往会影响学生对于各种数学知识的理解及熟练运用。本文通过分析目前高中数学教师着力加强概念教学的必要性,探讨了有效开展概念教学的相关方法,以求推动概念教学的顺利实施。

一、高中数学教师强化概念教学的必要性

近年来,高中数学教师对于概念教学的忽略,使得越来越多的教学弊端呈现出来,将数学教学推入了一种难以突破的窘境。高中数学教师为了使数学教学的水平得以有效提升,开始纷纷开展对于概念教学的理论研究及强化实施。

首先,高中数学教师强化开展概念教学是由概念教学自身的重要性所推动的。概念是数学知识的基础,也是高中数学教学的教育标准规定的一项重要教学内容,而且概念还是学生理解数学基础知识及掌握必要的知识运用技能的保证,可以说它是整个数学教学中极其重要的一环。学生只有理解并熟练掌握了必要的数学概念,才能够在进行数学学习的过程中达到对数学知识的举一反三的应用。

其次,高中数学教师当前强化概念教学还由概念教学中存在的不足所驱动。就目前来看,高中数学教师对于概念教学存在着观点不一的认知,有些教师认为必须注重概念的科学性以及严谨性,另外一些教师则认为必须淡化概念转而注重教学实质,这些观点的分歧使得教师在开展概念教学时难以达到对于教学重点的有效把握。而且,数学教师对于概念的教学还存在着轻视概念应用于数学问题的可操作性以及不重视引导学生理解概念的问题,使得学生对于概念的掌握落入死板僵化的状态。

二、高中数学教师有效开展概念教学的方法

数学概念对教师的数学教学及学生的数学学习发挥着举足轻重的作用,高中数学教师可以通过以下几个方面的方法来推动概念教学的有效实施。

1、创设有效教学情境,引导学生理解概念

数学概念教学存在着某种程度的抽象性,学会在学习过程中如果得不到形象的引导,往往无法达到对于概念的全面理解及掌握。因此,教师要通过创设具体、形象、有趣的情境来引导学生更直观地理解概念。以函数概念的教学为例,教师可以采用加油站的加油器上面存在的三组数字来对学生进行讲解,其中唯一不变的一组数字就是常量,而油量和金额两组不断变动的数字则叫做变量。而自变量和因变量的教学,教师则可以通过引导学生自己去确定油价和金额是谁在跟随谁进行变动,最终由学生自己确定下来油量是自变量,金额则是随着自变量变动的因变量。接下来,教师则可以通过直接告诉学生因变量也叫做自变量的函数,并将因变量与自变量分别设为y和x,从而引到学生掌握因变量(y)等于自变量(x)乘以常量(单价)的函数关系式,最终使学生达到对各个概念的形象理解及应用。

2、设计有效数学习题,加强概念的操作性

数学概念是用来帮助学生解答问题的有效工具,而学生也只有以不断的练习来巩固其自身对于概念的全面理解及掌握。所以,教师在教学中要善用从概念的不同变动应用、概念与其他相关概念的联系以及此概念与已学概念的结合应用等方面来设置全面的练习题,引导学生在习题训练中掌握概念。比如,教师可以在讲述完“向量的坐标”概念知识时,可以通过为学生设置“已知平行四边形的A(4,6)B(2,1)C(3,5)三个顶点坐标,要求D顶点的坐标”的问题,先引导学生将向量的坐标与点的坐标进行联系以解题,然后再从另一个方面来引导学生利用已经学过的平行四边形所具有的性质、直线方程、斜率等概念进行解题,帮助学生通过探究解题的方式来加强对于概念的学习兴趣,最终加深学生对概念的可操作性的认知,使学生逐步学会利用不同的概念来解题,实现对于不同概念之间联系的探索与发现。

3、加强对概念的辨析,推动概念全面掌握

高一数学导数概念篇(7)

关键词：概念意象 数学模型 高等数学概念

中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）01（b）-0000-02

高等数学中的极限、导数与积分等概念属于高等层次的数学概念，具有高度的抽象性、逻辑的严密性和表征的复杂性等特征，使得学生难以掌握这些概念。

数学模型是对一个实际问题，按照其内在规律做出一些必要、合理的简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。[1]运用数学模型可以描述实际问题，借助数学的方法求解模型，结合背景知识可以解释或回答实际的问题。随着科学技术的发展，数学模型已经渗透到各个领域，发挥着重要的作用。在数学教学中，数学模型对概念的形成也具有促进作用。

本文根据Vinner提出的概念意向，提出了基于数学模型进行概念教学，使用数学模型建立、强化概念意象，并使用概念意象解决实际问题，从而完整掌握概念。

1 当前高等数学概念教学的问题解析

当前我国高等数学概念教学存在以下问题：

（1）教学以逻辑结构代替认知结构。错误认为“布置给学生认知任务时，学生会使用概念定义，因此无需给他们大量不同的例子”，但是，Vinner的研究指出这种想法是错误的。[2]在解决问题时概念定义往往不起任何作用。学生不了解概念定义也能在考试中得到好成绩。

（2）我国学生对高等数学概念的掌握也不高。秦德生对高三，大一和大四的学生进行了导数理解的实证研究表明，学生对极限思想理解水平较低，达到最高E级水平的大一学生仅占总体的39%，对导数的物理意义，形式化意义理解水平也较低。[3]

（3）应用概念解决实际问题的水平较低。如何让学生掌握概念是高等数学教学中的一个难题。

2 概念意象的研究

学生对概念的理解与书本上的定义往往是不同的。为研究知识的内部表征和加工方式，人们提出了意象。Shepard认为意象的实质是一种类比表征，即内部表征的机能联系与外部客体的结构联系是相似的。[4] 1981年Vinner提出“概念意象”以与书本上的“概念定义”做出区分，“用概念意象描述与概念有关的整个认知结构，包括所有的智力图形和相关的性质、过程……概念定义是用来特别说明概念的一种词语形式”。[5] 概念意象是概念的内部表征，是一种非语言的思维形式，具有不断变化、不精确且容易歪曲的特点。

在概念形成与理解的过程中，概念意象起着至关重要的作用。Tall、Rasslan、Giraldo、Rosken等人在研究导数、切线、定积分等概念的过程中揭示在多数情况下，学生不是用概念定义，而是用概念意象思考问题。[5-6]

3 基于数学模型的概念意向教学

现代学习理论表明，学习过程是认知结构形成、变化和完善的过程。曹翰才认为：数学认知结构，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。[7]

数学概念的学习过程也是一个概念意象逐步强化完善的过程。学习者根据自己的经验与理解通过初步学习形成概念意象。然后，通过运用逐步消除其中的错误，建立概念之间的联系，即形成概念域和概念系，完整的掌握概念。

3.1 利用数学模型建立概念意象

罗奇（Rosch）认为，概念主要是以原型即它的最佳实例表征出来的，人们主要是从能够最好地说明一个概念的实例来理解概念。[8]学生在建立求解简单的数学模型过程中，运用辨别、抽象、概括等心理过程，通过对问题的分析，了解概念的产生背景、前提条件和思想方法等， 以概念形成和概念同化的方式，可以更好的建立概念意向。

例如导数概念与变化率密切相关，可以用变速直线运动的瞬时速度问题通过以下步骤引入导数概念。

（1）分析了解问题背景，即求瞬时速度的必要性.（2）通过抽象、联想等心理活动，将瞬时速度与平均速度建立联系，确定计算物体在区间 上的平均速度：

（3）通过对比、辨别等方式引入极限的思想，令此区间宽度 ，从而得到物体在 时刻的瞬时速度：

（4）运用抽象概括等将瞬时速度问题与瞬时变化率联系起来。结合几何直观解释，引出导数概念。在此过程中，学生建立起导数的概念意象，将导数和瞬时速度、瞬时变化率、切线斜率等结合考虑。

3.2 利用数学模型消除学生在概念理解上的认知错误。

数学模型是概念在头脑中的内部表征，受到具体例子的影响，容易将例子的特性当作概念的属性，因此概念意向往往是片面的、不完整的。

例如，在传统教材中使用平面图形面积问题引入定积分定义，学生常错误的认为定积分 就表示由直线 ， ， 轴和曲线 所围成的平面图形的面积，而忽视了被积函数必须大于或者等于零这个限制条件，也容易忽视概念的本质。

数学模型通过不同的例子使学生从多角度、多层面思考，并用不断的刺激使新的概念与原有的概念意象发生冲突，从而引起反思，纠正之前的错误概念意象。

经济学中的连续收入流的现值问题需要使用定积分概念。一些大公司的付款可以看成是连续的，其收益可以用连续的收入流表示。假设某公司收入流的变化率为 元/年。采用连续复利，年利率为 ，则M年后的现值可以用定积分表示。

从而将连续收入流的现值表示成和的极限的形式，即用定积分来表示。这一过程体现了定积分定义中的分割、近似、求和与取极限四个步骤，强化了学生对定积分本质的理解与运用，纠正学生简单的用面积来解释定积分。

3.3 利用数学模型提高学生应用概念解决实际问题的能力

有一种思想认为学生在解决问题时只用概念定义，因而无需给学生讲解大量的例子。但是Vinner指出，这种想法是没有任何根据的。[1]

在概念意象阶段，学生能判定一个具体的事例是否属于这个概念，但是学生对概念的理解水平仍不高，处于形象思维的阶段。

数学模型通过较多的例子使学生产生足够的概念意象，帮助学生在解决实际问题过程中，将原始条件进行符号化，并与相关的概念定义、概念意象进行重组和加工，将各个独立的概念、性质联系起来，最终形成概念域和概念系，以适应实际问题的需要，从而完整的掌握概念。

在学习了高等数学的内容后，学生建立了导数、微分、积分和微分方程等的概念意向，达到了符号化的水平。但是掌握的是独立概念，仍不足以使用基本概念解决实际问题。例如在人口增长模型或者传染病模型中，我们虽然已经有了导数的定义，但是我们并不是直接使用导数定义建立模型，而是根据导数的意义建立模型，这就需要了解导数的概念、意义和相关的性质。在分析求解验证模型过程中，学生将导数、积分、微分方程、极限等概念及其性质连接起来，形成概念域和概念系。经历这一过程，学生能更加深刻的理解概念，达到应用概念解决问题的水平。

概念的内部存储和表征并不等同于知识的逻辑体系。本文从概念意象的角度，论述了数学模型在高等数学教学中，建立概念意象、消除错误概念意象和综合运用概念解决问题阶段的重要作用。由于概念表征的复杂性，概念意象形成的细节仍需要进一步研究。

参考文献

[1] 颜文勇.数学建模[M].北京：高等教育出版社，2011：6.

[2] Shlomo VINNER.Concept definition， concept image and the notion of function[J].The international journal of mathematical education in science and technology，1983，14（3）：293-305.

[3] 秦德生.学生对导数的理解水平及其发展规律研究[D].长春：东北师范大学，2007.

[4] 李善良.关于概念意象的研究[J].数学教育学报，2004，13（3）：13-15.

[5] David TALL，Shlomo VINNER.Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity[J].Educational studies in mathematics，1981，12（2）：151-169.

[6] Rasslan S，Tall D.Definitions and images for the definite integral concept[M].Proceedings of the 26th conderence PME.Norwich：PME，2002：89-96.