函数教学篇(1)

幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测。

二．学情分析

学生通过对指数函数和对数函数的学习，已经初步掌握了如何去研究一类函数的方法，即由几个特殊的函数的图象，归纳出此类函数的一般的性质这一方法，为学习本节课打下了基础。

三．教学目标

1．知识目标

（1）通过实例，了解幂函数的概念；

（2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；

（3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。

2．能力目标

在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想。

3．情感目标

通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。

四．教学重点常见的幂函数的图象和性质。

五．教学难点画幂函数的图象引导学生概括出幂函数性质。

六．教学用具多媒体

七．教学过程

（一）创设情境（多媒体投影）

问题一：下列问题中的函数各有什么特征？

（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她应支付p＝w元．这里p是w的函数．（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积为S＝a2．这里S是a的函数．（3）如果立方体的边长为a，那么立方体的体积为V＝a3．这里V是a的函数．（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长为a＝．这里a是S的函数．（5）如果某人t（s）内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度为v＝t-1（km／s）．这里v是t的函数．由学生讨论、总结，即可得出：p＝w，s＝a2，a＝，v＝t-1都是自变量的若干次幂的形式．

问题二：这五个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？

这时，学生观察可能有些困难，老师提示，可以用x表示自变量，用y表示函数值，上述函数式变成：y＝xa的函数，其中x是自变量，a是实常数．由此揭示课题：今天这节课，我们就来研究：§2.3幂函数

（二）、建立模型

定义：一般地，函数y＝xa叫作幂函数，其中x是自变量，a是实常数。（投影幂函问题二：数的定义。）

深化认知（1）下列函数是幂函数的是：

A．y=2x+1B．y=3x2C．y=x-3D．y=1

（2）幂函数与指数函数有什么联系和区别？

学生回答，老师点评。

引导：有了幂函数的概念后，我们接下来做什么？―――研究幂函数的性质。

通过什么方式来研究？――――――画函数的图象。

为使作图高效，我们可先做点什么―――分析函数的定义域、奇偶性。

（三）问题探究1.对于幂函数y＝xa，讨论当a＝1，2，3，，－1时的函数性质．填表

以上问题给学生留出充分时间去探究，教师引导学生从函数解析式出发来研究函数性质．2.在同一坐标系中，画出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的图像，并归纳出它们具有的共同性质．

学生回答，老师点评：幂函数的性质．

（1）函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的图像都过点（1，1）；（2）函数y＝x，，y＝x3，y＝x-1是奇函数，函数y＝x2是偶函数;（3在（0，＋∞）上,函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝是增函数，函数y＝x-1是减函数；（4）在第一象限内，函数y＝x-1图像向上与y轴无限接近；向右与x轴无限接近。

（四）解释应用

例1．写出下列函数的定义域，并指出奇偶性：（投影）

①y=x②y=x③y=x④y=x

学生解答，并归纳解决办法。引导学生与指数函数、对数函数对照比较。（演示）

例2．比较下列各组中两个值的大小，并说明理由：

①0.75，0.76；②(-0.95)，(-0.96)；

③0.23，0.24；④0.31，0.31

学生思考、作答，教师引导学生叙述语言的逻辑性。注意：由于学生对幂函数还不是很熟悉，所以在讲评中要刻意体现出幂函数图像的画法，即再一次让学生体会根据解析式来画图像例题这一基本思路．

（五）拓展延伸

探究：①已知(a+1)<(3-2a),试求a的取值范围。

②观察幂函数的定义域对其奇偶性有什么影响？

（六）归纳小结

今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获和经验？

（七）布置作业：

课本第87页2、3题

思考：幂函数y=(m-3m-3)x在区间上是减函数，求m的值。

附：板书设计

课题…………

问题一

（1）……………….

（2）………………

（3）……………….

（4）………………

（5）……………….

问题二：

………………………

……………………….

定义：…………

…………………

填表

幂函数的性质．

（1）………………

（2）………………

（3）………………

（4）………………

例1……………

①y=x②y=x③y=x④y=x

例2．

（1）………………

（2）………………

（3）………………

（4）………………

拓展延伸……………

布置作业…………….

教学后记

（1）本节课开始时要注意用相关熟悉例子引入新课。

（2）画函数图象时，如果学生已能够运用计算器或相关计算机软件作图，可以让学生自己操作，以提高学生探索问题的兴趣和能力，并提高教学效率。

函数教学篇(2)

1．掌握对数函数的概念，图象和性质，且在掌握性质的基础上能进行初步的应用．

(1)能在指数函数及反函数的概念的基础上理解对数函数的定义，了解对底数的要求，及对定义域的要求，能利用互为反函数的两个函数图象间的关系正确描绘对数函数的图象．

(2)能把握指数函数与对数函数的实质去研究认识对数函数的性质，初步学会用对数函数的性质解决简单的问题．

2．通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想，注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力．

3．通过指数函数与对数函数在图象与性质上的对比，对学生进行对称美，简洁美等审美教育，调动学生学习数学的积极性．

教学建议

教材分析

(1)对数函数又是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的．故是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解．对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸．它是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础．

(2)本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象性质．难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质．由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，故应成为教学的重点．

(3)本节课的主线是对数函数是指数函数的反函数，所有的问题都应围绕着这条主线展开．而通过互为反函数的两个函数的关系由已知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，所以应是本节课的难点．

教法建议

(1)对数函数在引入时，就应从学生熟悉的指数问题出发，通过对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，而且画对数函数图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也可以多选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找出共性，归纳性质．

(2)在本节课中结合对数函数教学的特点，一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是不断地反函数这条主线引导学生思考的方向．这样既增强了学生的参与意识又教给他们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学习兴趣．

教学设计示例

对数函数

教学目标

1.在指数函数及反函数概念的基础上，使学生掌握对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图像，掌握对数函数的性质，并初步应用性质解决简单问题．

2.通过对数函数的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类讨论的思想．

3.通过对数函数有关性质的研究，培养学生观察，分析，归纳的思维能力，调动学生学习的积极性．

教学重点，难点

重点是理解对数函数的定义，掌握图像和性质．

难点是由对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质．

教学方法

启发研讨式

教学用具

投影仪

教学过程

一.引入新课

今天我们一起再来研究一种常见函数．前面的几种函数都是以形式定义的方式给出的，今天我们将从反函数的角度介绍新的函数．

反函数的实质是研究两个函数的关系，所以自然我们应从大家熟悉的函数出发，再研究其反函数．这个熟悉的函数就是指数函数．

提问：什么是指数函数?指数函数存在反函数吗?

由学生说出是指数函数，它是存在反函数的．并由一个学生口答求反函数的过程：

由得．又的值域为，

所求反函数为．

那么我们今天就是研究指数函数的反函数-----对数函数．

2．8对数函数(板书)

一.对数函数的概念

1.定义：函数的反函数叫做对数函数．

由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发．如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的认识是什么?

教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识，从而找出对数函数的定义域为，对数函数的值域为，且底数就是指数函数中的，故有着相同的限制条件．

在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质．

二．对数函数的图像与性质(板书)

1.作图方法

提问学生打算用什么方法来画函数图像?学生应能想到利用互为反函数的两个函数图像之间的关系，利用图像变换法画图．同时教师也应指出用列表描点法也是可以的，让学生从中选出一种，最终确定用图像变换法画图．

由于指数函数的图像按和分成两种不同的类型，故对数函数的图像也应以1为分界线分成两种情况和，并分别以和为例画图．

具体操作时，要求学生做到：

(1)指数函数和的图像要尽量准确(关键点的位置，图像的变化趋势等)．

(2)画出直线．

(3)的图像在翻折时先将特殊点对称点找到，变化趋势由靠近轴对称为逐渐靠近轴，而的图像在翻折时可提示学生分两段翻折，在左侧的先翻，然后再翻在右侧的部分．

学生在笔记本完成具体操作，教师在学生完成后将关键步骤在黑板上演示一遍，画出

和的图像．(此时同底的指数函数和对数函数画在同一坐标系内)如图：

2.草图．

教师画完图后再利用投影仪将和的图像画在同一坐标系内，如图：

然后提出让学生根据图像说出对数函数的性质(要求从几何与代数两个角度说明)

3.性质

(1)定义域：

(2)值域：

由以上两条可说明图像位于轴的右侧．

(3)截距：令得，即在轴上的截距为1，与轴无交点即以轴为渐近线．

(4)奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数，即它不关于原点对称，也不关于轴对称．

(5)单调性：与有关．当时，在上是增函数．即图像是上升的

当时，在上是减函数，即图像是下降的．

之后可以追问学生有没有最大值和最小值，当得到否定答案时，可以再问能否看待何时函数值为正?学生看着图可以答出应有两种情况：

当时，有；当时，有．

学生回答后教师可指导学生巧记这个结论的方法：当底数与真数在1的同侧时函数值为正，当底数与真数在1的两侧时，函数值为负，并把它当作第(6)条性质板书记下来．

最后教师在总结时，强调记住性质的关键在于要脑中有图．且应将其性质与指数函数的性质对比记忆．(特别强调它们单调性的一致性)

对图像和性质有了一定的了解后，一起来看看它们的应用．

三．简单应用(板书)

1.研究相关函数的性质

例1.求下列函数的定义域：

(1)(2)(3)

先由学生依次列出相应的不等式，其别要注意对数中真数和底数的条件限制．

2.利用单调性比较大小(板书)

例2.比较下列各组数的大小

(1)与；(2)与；

(3)与；(4)与．

让学生先说出各组数的特征即它们的底数相同，故可以构造对数函数利用单调性来比大小．最后让学生以其中一组为例写出详细的比较过程．

三．巩固练习

练习：若，求的取值范围．

四．小结

五．作业略

板书设计

2．8对数函数

一.概念

1．定义2．认识

二．图像与性质

1．作图方法

2．草图

图1图2

3．性质

(1)定义域(2)值域(3)截距(4)奇偶性(5)单调性

三．应用

1．相关函数的研究

例1例2

练习

探究活动

(1)已知是函数的反函数，且都有意义．

①求；

②试比较与4的大小，并说明理由．

(2)设常数则当满足什么关系时，的解集为

答案：

(1)①；

函数教学篇(3)

一、要加强函数的一般方法的引导

函数关系是量与量之间关系的抽象，凡涉及量的关系就少不了要用函数概念去描述、去刻画，并通过它去研究客观实际中的数量关系，所以无论就业或升学都要学到函数概念。高中代数教材是以函数为中心，函数又比较抽象、难学，初中函数是为高中做准备的。就以初中代数本身而言，像解三角形、二次不等式等也都离不开函数的有关概念；在物理、化学中，像匀速运动、抛射运动、自由落体等也要有相应的函数作基础，因此初中学习函数是相当必要的。

函数不仅仅是数学当中的一部分，它还是一种方法、在其他领域的研究中广为应用的一种手段。所以，对它的学习要更注重方法和思想的学习。要注重其在实际生活中的运用以及函数与函数之间的联系。例如：对于反比例函数概念的教学，大多经历这样的过程：从一些具体实例引入（包括匀速运动路程固定，速度与时间的关系；商品总价固定，单价与商品数量的关系；长方形面积固定，长与宽的关系），让学生概括其中的共同本质特征（函数关系，反比例关系）；下定义（给出反比例函数的文字和符号描述）；辨析概念（从反比例关系、函数两方面辨析概念，注意反例的使用）；例题（给出用概念作判断的操作步骤）；反思（与正比例函数、一次函数作比较，纳入概念系统）。实际上，相关函数都要经历这几个过程。这些基本的“套路”为我们更好地学习函数提供了方法。所以，有的时候，我们在学习时，喜欢从特殊到一般，在这种框架下，我们就能完成对后续内容的探索。

二、注重函数思想的渗透

1、在教学过程中，要注重思维的广阔性

函数要求学生的思路开阔，能全面地分析问题，多方面地思考问题，多角度地研究问题。学生只有善于对数学问题的特征、差异和隐含关系进行具体分析，才能逐渐地培养函数思维的广阔性。

例1：已知点A（1，4）和 B（2，2）两点，试写出图象经过A，B两点不同的函数解析式，并简要说明解答过程。

解：⑴运用一次函数解答

如果经过A，B两点的函数图象是直线，可设函数的解析式是y=kx+B，则有k+B=4，2k+B=2。

所以，这个函数的解析式为y=-2x+6。

⑵运用反比例函数解答

由于A，B两点横坐标与纵坐标的积相等，都等于4，因此经过点A，B两点的函数图象还可以是双曲线，其解析式为 y=4/x。

⑶运用二次函数解答

如果经过A，B两点的函数图象是抛物线，设函数的解析式为：y=x2+Bx+c，根据题意，得1+B+c=4，4+2B+c=2。

解得：B=-5，c=8。

本题还可以选择其他的A值代入，答案不唯一。

2、在教学过程中，要注意思维的深刻性

这要求学生在对待问题时要善于抽象概括，透彻深刻地理解，严密地推理。尤其在初中函数部分的教学中存在着像“一元一次函数与一元一次方程的关系，二元一次函数与二元一次方程的关系，二元一次函数图象与x轴交点个数和二元一次方程根的判别式之间的关系”等一些内容相近或相似的问题。此时，学生要抓住本质特征准确识别与应用所学的知识。

例2：解下面的三个问题：

⑴设x1，x2是方程2x2+3x-1=0的根，求x12+x22的值。

⑵已知二次函数y=2x2+3x-1的图象与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）。求x1+x2的值。

⑶已知A，B为不等的两个实数，且2A2+3A-1=0，2B2+3B=1，求A+B的值。

这三个问题表面上看似不同，涉及的内容也不同（问题1是求一元二次方程两个根的平方和，问题2涉及一元二次函数图象问题，问题3是两个实数的问题），但其本质却是相同的：即所求代数式中的两个量均是一元二次方程2x2+3x-1=0的两个不相等的实根，都可以用“根与系数的关系”来实现解题的目的。这种多题一解的问题可以培养学生抓住本质特征，更快地认识数、形间的转化与统一，深刻理解其实质。

3、在教学过程中，要注重思维的灵活性

函数教学篇(4)

1.使学生了解反函数的概念;

2.使学生会求一些简单函数的反函数;

3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。

教学重点

1.反函数的概念;

2.反函数的求法。

教学难点

反函数的概念。

教学方法

师生共同讨论

教具装备

幻灯片2张

第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。(记作A);

第二张：本课时作业中的预习内容及提纲。

教学过程

(I)讲授新课

(检查预习情况)

师：这节课我们来学习反函数(板书课题)§2.4.1反函数的概念。

同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法?

生：(略)

(学生回答之后，打出幻灯片A)。

师：反函数的定义着重强调两点：

(1)根据y=f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x=φ(y);

(2)对于y在c中的任一个值，通过x=φ(y)，x在A中都有惟一的值和它对应。

师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。

师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢?

生：一一映射确定的函数才有反函数。

(学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示)。

师：在y=f(x)中与y=f-1(y)中的x、y，所表示的量相同。(前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此)，但地位不同(前者x是自变量，y是函数值;后者y是自变量，x是函数值。)

在y=f(x)中与y=f–1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同(前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x。)

由此，请同学们谈一下，函数y=f(x)与它的反函数y=f–1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢?

生：(学生作答，教师板书)函数的定义域，值域分别是它的反函数的值域、定义域。

师：从反函数的概念可知：函数y=f(x)与y=f–1(x)互为反函数。

从反函数的概念我们还可以知道，求函数的反函数的方法步骤为：

(1)由y=f(x)解出x=f–1(y)，即把x用y表示出;

(2)将x=f–1(y)改写成y=f–1(x)，即对调x=f–1(y)中的x、y。

(3)指出反函数的定义域。

下面请同学自看例1

(II)课堂练习课本P68练习1、2、3、4。

(III)课时小结

本节课我们学习了反函数的概念，从中知道了怎样的映射确定的函数才有反函数并求函数的反函数的方法步骤，大家要熟练掌握。

(IV)课后作业

一、课本P69习题2.41、2。

二、预习：互为反函数的函数图象间的关系，亲自动手作题中要求作的图象。

板书设计

课题：求反函数的方法步骤：

定义：(幻灯片)

注意：小结

一一映射确定的

函数才有反函数

函数教学篇(5)

1.能够运用函数的性质，指数函数，对数函数的性质解决某些简单的实际问题．

(1)能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本，弄清题中出现的量及其数学含义．

(2)能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题，并调动函数的相关性质解决问题．

(3)能处理有关几何问题，增长率的问题，和物理方面的实际问题．

2.通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体现了函数知识的应用价值，也渗透了训练的价值．

3.通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想．提高了学生学习数学的兴趣，使学生对函数思想等有了进一步的了解．

教学建议

教材分析

（1）本小节内容是全章知识的综合应用．这一节的出现体现了强化应用意识的要求，让学生能把数学知识应用到生产，生活的实际中去，形成应用数学的意识．所以培养学生分析解决问题的能力和运用数学的意识是本小节的重点，根据实际问题建立数学模型是本小节的难点．

（2）在解决实际问题过程中常用到函数的知识有：函数的概念，函数解析式的确定，指数函数的概念及其性质，对数概念及其性质，和二次函数的概念和性质．在方法上涉及到换元法，配方法，方程的思想，数形结合等重要的思方法．．事业本节的学习，既是对知识的复习，也是对方法和思想的再认识．

教法建议

（1）本节中处理的均为应用问题，在题目的叙述表达上均较长，其中要分析把握的信息量较多．事业处理这种大信息量的阅读题首先要在阅读上下功夫，找出关键语言，关键数据，特别是对实际问题中数学变量的隐含限制条件的提取尤为重要．

（2）对于应用问题的处理，第二步应根据各个量的关系，进行数学化设计建立目标函数，将实际问题通过分析概括，抽象为数学问题，最后是用数学方法将其化为常规的函数问题(或其它数学问题)解决．此类题目一般都是分为这样三步进行．

（3）在现阶段能处理的应用问题一般多为几何问题，利润最大，费用最省问题，增长率的问题及物理方面的问题．在选题时应以以上几方面问题为主．

教学设计示例

函数初步应用

教学目标

1.能够运用常见函数的性质及平面几何有关知识解决某些简单的实际问题．

2.通过对实际问题的研究，培养学生分析问题，解决问题的能力

3.通过把实际问题向数学问题的转化，渗透数学建模的思想，提高学生用数学的意识，及学习数学的兴趣．

教学重点，难点

重点是应用问题的阅读分析和解决．

难点是根据实际问题建立相应的数学模型

教学方法

师生互动式

教学用具

投影仪

教学过程

一.提出问题

数学来自生活，又应用于生活和生产实践．而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法．如刚刚学过的函数内容在实际生活中就有着广泛的应用．今天我们就一起来探讨几个应用问题．

问题一：如图，是边长为2的正三角形，这个三角形在直线的左方被截得图形的面积为，求函数的解析式及定义域．(板书)

(作为应用问题由于学生是初次研究，所以可先选择以数学知识为背景的应用题，让学生研究)

首先由学生自己阅读题目，教师可利用计算机让直线运动起来，观察三角形的变化，由学生提出研究方法．由学生说出由于图形的不同计算方法也不同，应分类讨论．分界点应在，再由另一个学生说出面积的计算方法．

当时，，(采用直接计算的方法)

当时，

．(板书)

(计算第二段时，可以再画一个相应的图形，如图)

综上，有，

此时可以问学生这是什么函数?定义域应怎样计算?让学生明确是分段函数的前提条件下，求出定义域为．(板书)

问题解决后可由教师简单小结一下研究过程中的主要步骤(1)阅读理解；(2)建立目标函数；(3)按要求解决数学问题．

下面我们一起看第二个问题

问题二：某工厂制定了从1999年底开始到2005年底期间的生产总值持续增长的两个三年计划，预计生产总值年平均增长率为，则第二个三年计划生产总值与第一个三年计划生产总值相比，增长率为多少?(投影仪打出)

首先让学生搞清增长率的含义是两个三年总产值之间的关系问题，所以问题转化为已知年增长率为，分别求两个三年计划的总产值．

设1999年总产值为，第一步让学生依次说出2000年到2005年的年总产值，它们分别为：

2000年2003年

2001年2004年

2002年2005年(板书)

第二步再让学生分别算出第一个三年总产值和第二个三年总产值

=++

=．

=++

=．(板书)

第三步计算增长率．

．(板书)

计算后教师可以让学生总结一下关于增长率问题的研究应注意的问题．最后教师再指出关于增长率的问题经常构建的数学模型为，其中为基数，为增长率，为时间．所以经常会用到指数函数有关知识加以解决．

总结后再提出最后一个问题

问题三：一商场批发某种商品的进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促进销售，拟采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法，试验表明，礼品价格为1元时，销售量可增加10%，且在一定范围内礼品价格每增加1元销售量就可增加10%．设未赠送礼品时的销售量为件．

(1)写出礼品价值为元时，所获利润(元)关于的函数关系式;

(2)请你设计礼品价值，以使商场获得最大利润．(为节省时间，应用题都可以用投影仪打出)

题目出来后要求学生认真读题，找出关键量．再引导学生找出与利润相关的量．包括销售量，每件的利润及礼品价值等．让学生思考后，列出销售量的式子．再找学生说出每件商品的利润的表达式，完成第一问的列式计算．

解：．(板书)

完成第一问后让学生观察解析式的特点，提出如何求这个函数的最大值(此出最值问题是学生比较陌生的，方法也是学生不熟悉的)所以学生遇到思维障碍，教师可适当提示，如可以先具体计算几个值看一看能否发现规律，若看不出规律，能否把具体计算改进一下，再计算中能体现它是最大?也就是让学生意识到应用最大值的概念来解决问题．最终将问题概括为两个不等式的求解即

(2)若使利润最大应满足

同时成立即解得

当或时，有最大值．

由于这是实际应用问题，在答案的选择上应考虑价值为9元的礼品赠送，可获的最大利润．

三．小结

通过以上三个应用问题的研究，要学生了解解决应用问题的具体步骤及相应的注意事项．

四．作业略

五．板书设计

2．9函数初步应用

问题一：

解：

问题二

分析

问题三

函数教学篇(6)

一、在“空间与图形”领域的教学中渗透函数思想

小学数学教学进入到高年级，学生们开始接触到越来越多的几何部分，对于图形的理解与认识以及对于数字和图形的结合，这方面教学内容是综合性较强以及难度比较大的，也是很多学生在学习时存有障碍的地方。想要帮助学生加深对于“空间与图形”的认识，可以在教学过程中适当地引入函数的思想进行辅助。

在学生学习了长方形与正方形的周长和面积的计算后我们可以设计“周长和面积”的练习课。课上可以设计这样的环节：用16根1厘米长的小棒围成长方形或正方形，你能围出多少个？其中面积最大的是多少？学生经过研究后会发现：长方形可以得到不同的四种：长7cm，宽1cm；长6cm，宽2cm；长5cm，宽3cm；长4cm，宽4cm，而正方形只能得到一种：长4cm，宽4cm，其中面积最大的是正方形。学生在研究过程中会体会到：想要算出最大的面积唯一的方式就是将所有可以找到的长方形都列举出来，在组成不同的长方形时，它的长在不断减小，随之宽在不断增大，这个过程就将“静态”的学习变为“动态”的思考了，而这种由“静”到“动”的变化也就是函数的本质。由此看来，是函数思想使学生学习的过程“动”了起来，使学生的学习“生动”了起来，而函数的思想也慢慢渗透到学生的思维中去了。

二、利用数目关系，在解决实际题目中渗透函数思想

函数思想在小学数学教学中的很多方面都能得以体现，当学生的学习进入一定阶段后学生会接触到越来越多的数目关系，而这其中就隐含着函数思想，教学过程中教师要善用各种教学题材，对于各种能够体现函数思想的教学内容及教学板块都要充分加以利用，让学生多接触函数，多运用函数思想，这种思维模式才会在学生的思想意识中得以渗透。

通过小学阶段的学习，学生已经逐步掌握了很多的数目关系，如：单价、数量和总价之间的关系；路程、时间和速度之间的关系；工作量、工作效率和工作时间之间的关系等等。教学过程中不难发现，当这些数目关系中的某一种量固定后，另外两种量产生定性的变化，这个过程也就构成了函数。

以简单的解题过程为例，我们可以通过将固定的题目改编成开放性的题目，例如让学生给一个不完整的题目自行补充相应的条件来辅助其思考。以下面的题目为例：操场上有150名学生排队做操，请想想学生可以站成几排？这个题目条件很简单，整个题目也让人觉得抽象，然而正是这种开放性的题目能够很好地引入函数的思想。学生们想要找到答案就必须先做有效的分析，通过逻辑思考后学生会发现：可以站几排是随着每排人数的变化而变化的，而每排的人数也会有一定限制，最少不能少于1人，最多也不会超过150人。这个范围所蕴含的思想就是函数中的定义域和值域的思想。从这个题目的设置我们不难看出，这种开放性的题目不仅仅是简单的形式上的开放，而是建立在函数思想上的有目的的开放。而学生对于这个问题的思考过程必然会有函数的思想渗透其中，这样，函数意识也就在他们脑海中一点点加强了。

三、在与其他的数学思想方法的结合中渗透函数思想

数形结合为几何学的研究提供了新的方法，使很多几何题目变得简单直观，它使几何从定性研究阶段发展到定量分析阶段，使人们对于形的认识由静态发展到动态，这才是“数形结合”思想的本质所在。数形结合的思想基础是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，它可以使代数题目几何化、几何题目代数化。而函数思想虽然侧重于研究代数题目，但有时将函数思想与数形结合的思想交叉起来，可以使抽象的函数关系更具体直观，便于学生理解。

以不同图形间的周长比较为例，周长同为20cm的长方形、正方形及圆形，学生经过思考后会发现正方形及圆形在周长固定的前提下通常只有一种，那是因为正方形和圆形的周长都是由唯一的一个因素决定，边长及半径分别能够确定一个正方形和圆的周长。但对于长方形而言答案就可以有很多，这是因为决定长方形周长的因素为两个：长和宽，长的变化会导致宽也发生变化，两者间是相互制约的，而这种变化间的相互制约关系正是函数中的变量和因变量的思想，学生体会到两者间的变化制约关系也就是无形中对于函数思想的体会。函数思想不仅在数形结合中有很多的应用，在小学数学教学中的其他思想方法上都能找到体现，教师要善于挖掘教材内容，让函数思想在学生心里更深入。

函数教学篇(7)

关键词：苏教版; 初中数学; 二次函数; 教学实践

【中图分类号】G 【文献标识码】B 【文章编号】1008-1216（2016）12C-0042-01

当前，随着教材改革的不断进行，培养学生的实践和创新能力成为教学的方向，这就要求教师对教学模式进行变化。苏教版初中数学教材对于课堂教学的改革具有极大的推动作用，这就要求教师在遵循二次函数特点的基础上，对教学模式进行创新，发挥教学优势。

一、苏教版初中数学教材的主要特征

（一）教材中的知识与实际生活十分接近

苏教版初中数学在改革的过程中存在特殊之处。初中学生，对于十分抽象的、具有概括性质的数量关系的理解存在难度，无法离开现实生活。完成改革和调整的苏教版初中教学教材，十分重视数学理论知识与现实生活的融合，这样，教师在进行知识的传授过程中，注重对生活实例的运用，有利于对数学理论知识的讲解。

（二）对于知识整体性把握，更加关注逻辑性和全面性

在苏教版初中数学教材中，更注重知识点之间的联系，寻找共同点，进行合理的融合，加强关联性，这样做的好处是有利于学生将知识点进行串联，彰显逻辑性，既有利于学生的求学，也对教师的教学效果产生积极的影响。

（三）注重教学方法的灵活性

对于苏教版初中数学教材来说，要采用灵活的教学模式，激发学生主体作用，发挥自主学习的能力，促进思维能力的开拓，正视学习中的问题。

二、 苏教版初中数学二次函数的主要教学实践

（一） 深入理解二次函数的含义

二次函数反映的是世间万物的相互依赖的关系以及动态的变化过程，它经历了较长的时期才发展起来，体现的是一个逐渐精细化的发展路径，是一个由一般性到特殊性、抽象性到具体性的过程。因此，在对二次函数进行理解的时候，要由浅入深，让学生体会一个逐步认识的过程，列举生活中的例子，加深学生的理解。在进行经典例题讲解的时候，要将二次函数的定义渗入其中。例如，在已知圆的半径和面积的时候，让学生写出圆的面积的公式：s=πr2。在对公式进行讲解的时候，要明确二次函数的性质，加深学生对概念的掌握。

（二） 采用先进的教学方法，实现对学生逻辑思维能力的提高

在初中，对于学生逻辑思维能力的培养至关重要，是关键时期。只有采用正确的教学方式，才能有效提高学生的逻辑思维水平。二次函数教学的目标是实现对学生逻辑能力的培养，作用不可小觑。在传统的教学模式中，主要依靠黑板和教师的讲解，学生的直观感受不够强烈，学生感到十分抽象，缺少生动性，此时，如果借助先进的信息技术，实现教学内容、图片、影像的结合，二次函数就会形象地展现在学生的眼前，学生学习的热情提高，教学内容实现了丰富，提高了教学效率。

（三）在二次函数教学中，实现数形的有机结合

在二次函数知识的传授过程中，教师要发挥图像的优势，彰显图像的特征，给学生更加直观的感受，多角度提高学生的观察能力，加深对二次函数知识点的掌握，使学生在进行二次函数问题解决的时候，能够迅速、准确地绘出正确的草图，根据草图，确定顶点位置、开口方向以及顶点坐标，再根据题目要求，完成对题目的解答。

三、苏教版初中数学“二次函数”的教学实践中应注意的几个方面

（一）正确区分二次函数

对数学知识的传授是教与学的统一，要实现学生逻辑思维能力、计算水平、想象能力和技能等方面的提高，激发学生对新的问题产生兴趣，提出问题，寻求解决的方式，实现知识与现实的结合。数学教学内容体现的是整体性的特征，不同数学内容之间有着千丝万缕的关系，因此，教师要对不同类型的例题进行详细的讲解，将二次函数与其他数学内容进行区分，防止出现学生将二次函数与其他数学知识混淆。

（二）实现教学方式的多样化

初中二次函数教学，主要培养学生逻辑思维能力和探索能力，这就需要教师在教学过程中，实现方式多样化，在已知条件下，寻求多种解决方式，使学生将二次函数运用到实际问题的解决中。

（三）激发学生主动学习，提高学习效率

二次函数逻辑性十分强，但是教材比较枯燥，使学生很容易产生厌学的想法，教学难度较大。这就要求教师采用多种教学方式，将实际与理论相结合，采取学生容易接受的方式进行问题的解决。营造宽松的课堂气氛，激发学生学习的热情，实现学习效率的提升。

综上，二次函数是初中数学教学的重点和难点，教师要正确分析苏教版初中教材，正确掌握二次函数的特点，结合初中学生的特点，注重理论联系现实，将二次函数的知识点与生活中的实例相结合，优化教学方式，提高教学品质。

参考文献：