函数最值的应用篇(1)

关键词：二元函数;最值;经济;应用

中图分类号：F12 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2014）31-0005-02

一、二元函数的最大值与最小值

求函数f（x，y）的最大值和最小值的一般步骤为：

（1）求函数f（x，y）在D内所有驻点处的函数值;（2）求f（x，y）在D的边界上的最大值和最小值;（3）将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。

在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，可以判断出函数f（x，y）的最大值（最小值）一定在D的内部取得，而函数f（x，y）在D内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数f（x，y）在D上的最大值（最小值）。

二、二元函数的最值在经济中的应用

例1 设q1为商品A的需求量，q2为商品B的需求量，其需求函数分别为q1=16-2p1+4p2，q2=20+4p1-10p2，总成本函数为C=3q1+2q2，其中p1，p2为商品A和B的价格，试问价格p1，p2取何值时可使利润最大？

解 按题意，总收益函数为：

R=p1q1+p2q2=p1（16-2p1+4p2）+p2（20+4p1-10p2）

于是总利润函数为

L=R-C=q1（p1-3）+q2（p2-2）

=（p1-3）（16-2p1+4p2）+（p2-2）（20+4p1-10p2）

为使总利润最大，求一阶偏导数，并令其为零：

=14-4p1+8p2=0

=4（p1-3）+（20+4p1-10p2）-10（p2-2）

=28+8p1-20p2=0

由此解得p1=63/2，p2=14，又因

（L"xy）2-L"xx・L"yy=82-（-4）（-20）<0

故取p1=63/2，p2=14价格时利润可达最大，而此时得产量为q1=9，q2=6。

例2 在经济学中有个Cobb-Douglas生产函数模型f（x，y）=

cxαy1-α，式中x代表劳动力的数量，y为资本数量（确切地说是y个单位资本），c与α（0<α<1）是常数，由各工厂的具体情形而定，函数值表示生产量，现在已知某制造商的Cobb-Douglas生产函数是f（x，y）=100x3/4y1/4每个劳动力与每单位资本的成本分别是150元及250元，该制造商的总预算是50 000元，问他该如何分配这笔钱用于雇用劳动力与资本，以使生产量最高。

解 这是个条件极值问题，求函数f（x，y）=100x3/4y1/4在条件150x+250y=5 000下的最大值。

令L（x，y，λ）=100x3/4y1/4+λ（50 000-150x-250y），由方程组

Lx=75x-1/4y1/4-150λ=0Lx=25x3/4y-3/4-250λ=0Lx=50 000-150x-250y=0

中的第一个方程解得λ=x-1/4y1/4，将其代入第二个方程中，得

25x3/4y-3/4-125x-1/4y1/4=0

在该式两边同乘x1/4y3/4，有25x-125y=0，即x=5y。将此结果代入方程组的第三个方程得x=250，y=50，即该制造商应该雇用250个劳动力而把其余的部分作为资本投入，这时可获得最大产量f（250，50）=16 719。

例3 设销售收入R（单位：万元）与花费在两种广告宣传的费用x，y（单位：万元）之间的关系为

利润额相当于五分之一的销售收入，并要扣除广告费用.已知广告费用总预算金是25万元，试问如何分配两种广告费用使利润最大？

解 设利润为z，有

限制条件为x+y=25，这是条件极值问题，令

L（x，y，λ）=-x-y+λ（x+y-25）

从而

Lx=-1+λ=0，Ly=-1+λ=0

整理得

（5+x）2=（10+y）2

又y=25-x，解x=15，y=10。根据问题本身的意义及驻点的唯一性即知，当投入两种广告的费用分别为15万元和10万元时，可使利润最大。

例4 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c，每台电视机的销售价格为p，销售量为x。假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量，根据市场预测，销售量x与销售价格为p之间有下面的关系：

x=Me-ap （M>0，a>0） （1）

其中M为市场最大需求量，a是价格系数。同时，生产部门根据对生产环节的分析，对每台电视机的生产成本c有如下测算：

c=c0-klnx （k>0，x>1） （2）

其中c0是只生产一台电视机时的成本，k是规模系数，根据上述条件，应如何确定电视机的售价p，才能使该厂获得最大利润？

解 设厂家获得的利润为u，每台电视机售价为p，每台生产成本为c，销售量x，则u=（p-c）x。

于是问题化为利润函数u=（p-c）x在附加条件（1）、（2） 下的极值问题。

利用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数：

L（x，p，c，λ，μ）=（p-c）x+λ（x-Me-ap）+μ（c-c0+klnx）

令Lx=（p-c）+λ+kμ/x=0，Lp=x+λaMe-ap=0，Lc=-x+μ=0

将（1）代入（2），得c=c0-k（lnM-ap） （3）

由（1）及Lp=0知λa=-1，即λ=-1/a （4）

由Lc=0知x=μ，即x/μ=1

将（3）、（4）、（5） 代入Lx=0，得

p-c0+k（lnM-ap）-1/a+k=0

由此得p*=

由问题本身可知最优价格必定存在，故这个p*就是电视机的最优价格。

参考文献：

函数最值的应用篇(2)

关键词：最值的性质 求解方法 函数求导

一、函数最值的性质

从函数的基本性质出发来看，一些函数存在最值，有些函数却不存在最值，比如一次函数以及正比例函数和反比例函数等不存在最值，但是二次函数以及三次函数等存在最值。在函数最值的求解过程中，对二次函数进行一次求导，使导函数的值为零的自由变量就是函数的极值点，换言之，就是导函数的驻点对应的函数值就是函数的最大值或者是最小值。在对三次函数进行求导的过程中，导函数的根存在多种情况，对于无根的情况就是函数无最值，有重根以及异根的情况都是函数存在驻点，但是函数的驻点却不一定是最值点，所以，就需要在教学活动中，对学生分辨极值点以及最值点的区别，并且在掌握了各种函数的基本性质之后采用正确的方法对于函数的最值进行求解。

二、常见函数的最值求解方法

1、对一元函数最值的求解

在对一元函数进行最值求解的时候，要先对其进行求导，其导函数的驻点就是函数最值点。为此，要首先对于函数的导函数的求导方法进行了解和掌握，函数如果在一点处连续，这是函数可导的前提条件，那么对函数进行求导，得到的导函数的根就是一元函数的最值点。最对一元函数进行求导过程中，首要的步骤就是要先求解函数的导函数，得出了导函数的驻点以及不可导点之后，再将驻点以及不可到店导入函数中求出对应的函数值，并且对于函数的定义域端点处的函数值也要进行求解，最后，再对于求解出驻点处对应的函数值以及定义域端点处对应的函数值进行比较，大的值就是函数的最大值，小的函数值即为函数的最小值。经典例题举例说明：已知函数f （x）=ln（1+x）-x，求函数的最大值，首先要对f（x）求导得f'（x）=1/（1+x）-1，导函数的唯一根为x=0，则函数的最大值为f（0）=0。例2：若已知f（x）=x3-x，试求f （x）的最值，首先求出导函数的根，有-1、0、1，它们是f（x）的极点，然后得到函数的原函数的增减区间，f（x）的四个单调区间分别为减区间、增区间、减区间、增区间，比较三个极值的大小，得到最小值为-1/4+c。

2、对于二元函数的最值求解方法探讨

（1）配方法

在对二元函数进行最值求解的过程中，要首先对于二元函数的结构特征以及性质进行分析，除此之外，还要结合函数的特殊性质，对于二次函数进行适当的配方，使其能够转化成为一元函数来进行求解，之后再利用函数的基本性质，对于函数进行相关的求解，比如函数的绝对值大于零或者是函数的平方大于等于零等处理方法进行求解。相关例题说明：已知x-y2-2y+5=0，求x的最小值，首先将函数转化为一元函数x=y2+2y-5，然后将方程右边进行配方，得到y2+2y-5=（y+1）2-6 ≥ - 6，则x 最小值为- 6。例：求2x2-4xy+5y2-12y+13的最小值，合并同类项得2x2-4xy+3y2-12y+13=2（x-y）2+3（y-2）2+1，当x=y=2时，原函数的最小值为1。

（2）求导法

通过二元函数的性质分析可以知道二元函数的极值在函数的不可导点以及驻点处，二元函数存在最值的充分条件为函数在连续并且存在极值，函数在抹点处取得极值的必要条件就是函数在某一点处存在二阶偏导数，令函数对x的二阶偏导数为A，对y的二阶偏导数为B，对x、y的偏导数为C，若B2-AC小于0，并且A小于0，则该点处的函数值为极大值；若B2-AC小于0，并且A大于0，则该点处的函数值为极小值；若B2-AC小于0，则该点不是极值点，根据求出极值来得到最大值。

3、对于三角函数最值的求解方法探讨

对于三角函数最值的求导是函数最值求导的重要组成部分，三角函数在高等数学中国所占的比重视比较大的，所以在三角函数最值的求解方法的教学过程中，三角函数的教学课时比重是比较大的。对于三角函数的最值进行求解，其实就是对于三角函数的复合函数进行最值的求导，这就需要学生对于三角函数的基本知识进行充分的了解和掌握之后才能够对其进行灵活的求解。在解答三角函数的最值问题时，需要充分了解函数的定义域对值域的影响和正弦、余弦的取值范围，同时还要应用二次函数在闭区间内的最值，像利用函数的正弦与余弦的平方和等于1等性质。在刚刚学习三角函数时，需要从基础出发，避免计算量过大的题目，从基础出发，加强三角工具的应用意识，重点培养学生分析问题的能力。

4、对于解析几何中的最值求解问题

解析几何中的最值问题是解析几何综合性问题的重要内容之一，常以直线与圆、圆锥曲线等内容为载体，综合考查函数、不等式、三角等知识，涉及的知识点较多，属偏难问题。其常见方法首先有代数法，代数法就是先建立一个“目标函数”，再根据其特点灵活运用求函数最值的方法求得最值。其次就是几何法，几何法是借助图形特征利用圆或圆锥曲线的定义及几何性质来求最值的一种方法。最值问题在数列和立体几何应用题等知识点中也有体现，但都可以转化为函数或解析几何形式的最值问题来予以解决，这里不一一细述了。对于解析几何中的最值求解问题需要学生多进行解题练习，对于多种题型的解题方法都要有很好的掌握，这样才能够做好解析几何中的最值求解问题。

三、结束语

综上所述，对于各种函数的最值求解问题是多种多样的，教师在实际的教学活动中，要采用合理的教学方法，对于教学计划进行详细认真的制定，要在课堂的讲课中对于函数的最值求解的多种方法要进行讲解，这样才能够使学生更好地掌握函数的性质以及最值的求解方法。

函数最值的应用篇(3)

关键词:三角函数 最值 类型解决方法

最值问题是高中数学的重点和历年高考的热点,它涉及中学数学的各个分支,在一些特定的领域中应用还十分广泛,分清问题

的类型对于最值问题的解决十分有益。本文就三角函数中的最值问题略作介绍。

三角函数是一种函数,因此初等函数中的最值问题的求法对三角函数也适用,但三角函数既然是一种特殊的函数,其最值问题的求法当然也有其独特的地方。

一、配方法

例1.(1997年全国)函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为()

A.2 B.0C.-■D.6

略解:由y=cos2x-3cosx+2=(cosx-■)2-■,cosx∈[-1,1]

利用三角函数的有界性及二次函数在闭区间上求值域可得:0≤y≤6。

答案:B

点评:配方法作为初等函数中极为重要的方法在三角函数中应用仍然十分广泛,但本例运用配方法意在确定对称轴的位置。若将本例变为:函数y=sin2x-cosx+2的最小值为,则需异名化同名(余弦),再由配方法得出答案为1。

二、“合一变形”及有界性法

例2.(2000年春季北京、安徽文)y=sinx+cosx+2的最小值是()

A.2-■ B.2+■

C.0 D.1

略解:根据两角和与差的三角公式作逆运算得,y=■sin(x+■)+2,再利用三角函数的有界性知:y∈[2-■,2+■]。

答案:A

点评:“合一变形”法就是逆用“两角和与差的正余弦公式”对同角异名弦之和与弦之差作“二合一变形”。

变题:函数y=■的值域为

略解:由y=■得,sinθ=■

而sinθ∈[-1,1],故函数的值域为:

[-2,0]

三、“和积不等式”与“勾子函数”法

例3.函数y=sinα+■,α∈(0,π)的最小值为()

A.2■ B.-2■

C.6 D.-6

略解:由α∈(0,π),则sinα∈(0,1)

由“勾子函数y=x+■>0”性质可求y≥6。

答案:C

变题:函数y=5sinα+■,α∈(0,π)的最小值为()

A.2■ B.-2■

C.6 D.-6

略解:由α∈(0,π),则sinα∈(0,1)

由和积不等式知:5sinα+■≥2■,当且仅当sinα=■时取等号

答案:A

点评:“勾子函数”法的本质是函数的单调性,对于勾子函数y=x+■,a>0,当x∈(0,■]时函数单调减,当x∈(■,+∞]函数单调增。而“和积不等式”强调“一正、二定、三等”限制条件。

四、数形结合与换元法

例4.函数y=■的值域为

答案:(-∞,0]

例5.函数y=sinx+cosx+2sinxcosx的值域为

答案:[-■,1+■]

点评:例4可看作是圆:x2+y2=1上点(cosθ,sinθ)与点(-2,1)连线的斜率的取值范围。

例5则可将sinx+cosx整体换元为t∈[-■,■],并将sinxcosx化为t的代数式,进而将原问题化为二次函数在闭区间上求值域。

五、三角函数最值问题的简单应用

例6.(2000年全国,理)已知函数y=■cos2x+■sinxcosx+1,x∈R

当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;

解:y=■cos2x+■sinxcosx+1,x∈R

=■cos2x+■sin2x+■

=■sin(2x+■)+■

y取得最大值必须且只需2x+■=■+2kπ,k∈Z,

即x=■+kπ,k∈Z

所以当函数y取得最大值时,自变量x的集合为{x|x=■+kπ,k∈Z｝

点评:本题的突破口是利用三角函数的降幂公式进行恒等变形,重点考查了三角函数最值所取得的条件。

例7.设向量■=(3cosx,3sinx),■=(3cosx,sinx),■=(2,0),向量■与向量■的夹角为θ,当变量x∈(0,■)时,(1)求证:(■-■)■

(2)求角θ的最大值及相应的x值。

解:(1)■-■=(0,2sinx),而■=(2,0)

( ■ -■ )・ ■=0×2+2sinx×0=0

(■-■)■

(2)cosθ=■=■

=■

又x∈(0,■)

令:■=t,则t∈(1,3)

cosθ=■≥■(当t=■,即cosx=■时取等号)

又θ∈(0,π),cosθ在(0,π)内为减函数

θ≤■

θ的最大值为■,此时相应的x值为■

点评:本例运用了换元法、基本不等式等初等函数最值问题的求法,而其核心是以向量为载体考查三角函数的最值问题。

三角函数最值问题的各种解法之间可以互相渗透,而三角函数的有界性则贯串于三角函数问题的始终。

函数最值的应用篇(4)

案例1：（06年四川高考文）已知函数f（x）＝x3＋3ax－1，g（x）＝f ′（x）－ax－5，其中f ′（x）是的f（x）的导函数．

（1）对满足－1≤a≤1的一切的值，都有g（x）＜0，求实数x的取值范围；

（2）设a＝－m2，当实数m在什么范围内变化时，函数y＝f（x）的图像与直线y＝3只有一个公共点．

案例2：（07年四川高考文，本小题满分12分）设函数f（x）＝ax3＋bx＋c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f ′（x）的最小值为－12．

（1）求a，b，c的值；

（2）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在［－1，3］上的最大值和最小值．

案例3：（08年四川高考文，本小题满分12分）设x＝1和x＝2是函数f（x）＝x5＋ax3＋bx＋1的两个极值点．

（1）求a和b的值；

（2）求f（x）的单调区间．

案例4：（09年四川高考文，本小题满分12分）已知函数f（x）＝x3＋2bx2＋cx－2的图象在与x轴交点处的切线方程是y＝5x－10．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）设函数g（x）＝f（x）＋mx，若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量x的值．

在连续四年的高考中都考到了高三选修内容的函数求导、极值、单调性、最值、导数几何意义（即导函数在某一点的导数值就是这一点切线的斜率）．在考查这些知识的同时也考查这些知识的运用能力，既考查了教材也考查了教材知识的运用．函数求导作为数学的工具和基础地位在这几个案例中得到了充分的体现和重视，从复习的角度来看，我认为高三文科在函数复习时应做好以下工作．夯实求导和二次函数这两个工具．

二、夯实求导这个工具

函数求导能解决函数的单调性、极值、切线的斜率、最值等问题．函数求导是数学和物理学的重要工具．在上述四个案例中都对函数的单调性，极值，切线的斜率和函数的最值都相当重视，因此在高三的复习中一定要准确把握和练习求导这个内容．其重点有：

1．对教材中要求的公式进行求导强化练习，如：（c）′＝0，（xn）′＝nxn－1，（cxn）′＝cnxn－1，［f（x）±g（x）］′＝f ′（x）±g′（x），［f（x）g（x）］＝f ′（x）g（x）＋g′（x）f（x）．如上述四个案例首先涉及到的就是对原函数进行求导，再在求导的基础上进行求解．

2．利用f ′（x）的意义进行解题练习

（1）f ′（x）＞0所对应的区间是f（x）的递增区间，f ′（x）＜0所对应的区间是f（x）的递减区间．充分运用这一结论进行函数单调区间的求解练习．如上述案例2，本题的第（1）问就是利用f ′（x）＞0所对应的区间是f（x）的递增区间，利用f ′（x）＜0所对应的区间是f（x）的递减区间这一结论来求解函数的单调区间的．

（2）f ′（x）在某一点的导数值是这一点切线的斜率，利用这个结论进行切线斜率和切线的求解练习，同时利用切线的斜率或切线的方程对切点进行求解，或对函数的解析式求解．如案例1的第（1）问就是利用切线反向求解函数解析式的运用．案例4的第（1）就是利用切线方程反向求试题中的参数，进而进一步进解函数的解析式的．利用这一结论除了要把握导函数在某一点处的导数值是这一点切线的斜率外，还要注意这切点同时在原函数和切线上，即同时满足原函数和切线的方程．

（3）当f ′（x0）＝0时，若f ′（x）的值在的左右取值的符号不同，则x0为f（x）的极值点，即f ′（x）在f（x）的极值点处的导数值是0，利用这一结论可以求解带参数的函数的解析式，也可以求解函数的极值和最值．如案例1的第（2）问就是利用切线反向求解函数解析式的运用．案例3的第（1）问就是例用在极值点处导函数的值为零这一结论求参数a和b的．

从上面的研究中我们不难发现，文科类的数学高考紧紧把握了教材要求的知识点：求导公式的要求，导函数的意义．并对这些内容进行正向和逆向的设计和考查，当然我们在研究中还发现数在进行求导以后，在很大程度上转化为二次函数问题．因此二次函数是高三函数复习的又一个重点和难点．

三、强化二次函数的应用

在文科数学高考大题求导后一般转换为二次函数，由于二次函数的内容在初中作为重点内容进行了教学，在高中作为一个基本工具直接使用，这本身没有任何问题，但在教学过程中发现学生在掌握二次函数的内容和解题方面都存在较大的困难．在高考的函数大题中通常是以二次函数作为出题的背景来设计的，一般设计为三次含参求导，在求出解析式后，再围绕极值，最值和单调性设置试题．因此二次函数的内容是函数考察大题的基础和工具，在复习过程中应该引起足够的重视．在教学过程中应就以下几方面强化练习和应用．

1．一元二次不等式的解法

形如ax2＋bx＋c类型的不等式的解法应用．在化a为正的情况下，应用大于（或大于等于）取两边，小于（或小于等于）取中间的原理进行求解．特别注意?驻＜0（判别式小于零）这种特属情况的求解．一元二次不等式的解法是求导后求函数单调性的基础．如案例2的第（2）问，案例3的第（2）问．

2．一元二次函数在闭区间上最值的分布

一元二次函数在闭区间上最值的分布是求解是否存在极值点，有几个极值点的基础，也是求解极值或最值的基础．如案例1的第（2）问，案例2的第（2）问和案例4的第（2）问．

3．应强化二次函数以下知识点的练习和应用：

（1）顶点坐标－；

（2）对称轴x＝－；

（3）单调性：a＞0时，对称轴的左边单递减，对称轴的右边单调递增；a＜0时，对称轴的左边单递增，对称轴的右边单调递减；

（4）最值：a＞0时，离对称轴越远函数值越大，离对称轴越近函数值越小，在对称轴处函数值最小；a＜0时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大，在对称轴处函数值最大．

函数最值的应用篇(5)

关键词：导数；函数；不等式；数列；解析几何

导数是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。导数为解决函数的最值、函数极值、单调区间及函数图像等问题提供更有效的途径、更易行的方法和更简便的手段。

一、导数在函数中的应用

1.导数在判断函数的单调性、最值中的应用

利用导数来求函数的最值的一般步骤是：（1）先根据求导公式对函数求出函数的导数；（2）解出令函数的导数等于0的自变量；（3）从导数性质得出函数的单调区间；（4）通过定义域从单调区间中求出函数最值。

2.导数在函数极值中的应用

利用导数的知识来求函数极值是高中数学问题比较常见的类型。利用导数求函数极值的一般步骤是：（1）首先根据求导法则求出函数的导数；（2）令函数的导数等于0，从而解出导函数的零点；（3）从导函数的零点个数来分区间讨论，得到函数的单调区间；（4）根据极值点的定义来判断函数的极值点，最后再求出函数的极值。

3.导数在求参数的取值范围时的应用

利用导数求函数中的某些参数的取值范围，成为近年来高考的热点。在一般函数含参数的题中，通过运用导数来化简函数，可以更快速地求出参数的取值范围。

（2011年・江苏高考・T19）已知a，b是实数，函数f （x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f ′（x）和g ′（x）分别是f （x）和g （x）的导函数，若f ′（x）g ′（x）≥0在区间I上恒成立，则称f （x）和g （x）在区间I上单调性一致。（1）设a>0，若f （x）和g （x）在区间[-1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；（2）设a

【思路】本题考查的是导数与函数的综合知识，在解决本题时要注意挖掘已知的信息，注意条件的转化，函数f （x）和g （x）在区间[-1，+∞）上单调性一致，可以转化为导数之积恒为正来处理。

二、导数在不等式证明方面的应用

导数在不等式证明方面的应用关键在于从不等式的结构特征中，联想出与不等式对应的函数，然后构造函数，最后将不等式的证明转化为函数问题。再接着求出函数的单调区间进而得到满足不等式的自变量的取值范围或利用函数的单调性得到所证明的不等式。

三、导数在数列、解析几何方面的应用

数列是高中数学中一个重要的知识点，也是个难点。利用导数解决数列问题的关键在于结合数列的结构特征，根据求导公式联想与之相对应的函数再构造函数，然后再通过导数来解决相关的数列问题。而导数在解析几何方面的应用所利用的知识点是导数的几何意义，而导数的几何意义是函数y=f （x）在点x0处的导数f ′（x0），就是曲线y=f （x）在点（x0，f （x0））处的切线方程的斜率。下面结合某些高考题介绍导数在解决数列问题的基本方法与思路。

参考文献：

[1]陈裕军.导数在高考试题中的应用[J].数理化学习，2010（3）：38-39.

[2]李大明.导数在高考中的热点问题[J].中学生数理化，2006（21）：78-81.

[3]冯国东.导数在高中数学解题中的应用分析[J].新课程研究，2008（113）：25-26.

函数最值的应用篇(6)

（昭通学院，云南 昭通 657000）

摘 要：函数极值是高等数学的重要组成部分，函数性态是其重要特征之一.函数极值在企业营销中应用非常广泛，利用函数极值思维，可有效确定企业在一定条件下的投入比例，帮助企业获得最大利润.本文首先分析了函数极值的相关知识，并通过举例分析，对企业营销中的函数极值思维应用进行了讨论.

关键词 ：企业营销；函数极值；思维；应用

中图分类号：O174文献标识码：A文章编号：1673-260X（2015）04-0009-03

数学作为研究现实世界空间形式与数量关系的一门科学，具有很强的逻辑性与抽象性.数学知识赋予了数学原型更为深刻的内涵，现实生活中，我们可以找到很多的数学原型.在快速发展的社会经济时代，经济现象越来越复杂，只靠经验来认识经济活动远远不够，还需要更为科学的方法对经济现象进行分析.人们把高等数学中的函数极值思维应用到企业中，可对企业营销中的市场需求、资金投入、最大收益及库存管理等经济活动进行科学地分析，理清各项参数间的关系，根据已出现的情况进行分析，以获取相关信息，帮助企业营销进行最合理的安排.

2 函数极值的相关知识

2.1 函数极值概念

假设函数f（x）在x0某邻域之内有定义，对邻域中的任一点x且x≠x0，有f（x）＜f（x0），此时，称f（x0）为函数f（x）中的一个极大值.若对该邻域中的任一点x且x≠x0，有f（x）＞f（x0），那么称f（x0）为函数f（x）中一个极小值.其函数极小值与极大值可统称之为函数极值，让函数获得极值点的x0可称之为极值点.

2.2 函数极值存在的条件

在函数极值运算中，包含必要条件与充分条件.其中，必要条件为：如果函数f（x）在邻域点x0处可导，并且能取得极值，那么f’（x0）=0.充分条件为：假设函数f（x）在邻域点x0处是连续的，其左右邻近是可导的，那么具有下列两种情况，如果在x0左侧邻近位置，f’（x0）＜0，而x0右侧邻近位置，f’（x0）＞0，那么x0可称为函数的极小值点；如果在x0左侧邻近位置，f’（x0）＞0，而x0右侧邻近位置，f’（x0）＜0，那么x0可称为函数的极大值点.在实际问题当中，如果已经断定函数f（x）的定义区间存在最大值或者最小值，并且f’（x0）=0的定义区间中，只存在一个根x0值，则能断定在x0处，f（x）能获得最大值或者最小值.通常在企业营销中，涉及二元函数极值思维的问题较多，二元函数极值通常包含无条件极值与条件极值，其中，无条件极值所指的是二元函数当中的两变量是互相独立的，也就是不受其他条件的约束，其极值可称为无条件的极值，被简称为极值.而条件极值问题所指的是在二元函数f（x，y）当中，自变量x、y间，满足一定的条件，即函数ψ（x，y）=0，并且该函数称为约束方程或者约束条件，所求极值是条件极值，两变量间的线性规划问题就是条件极值的问题.因此，运用函数C=f（x，y）中的偏导数及其他方法，可求得函数极值，解决其最大值及最小值在营销中的应用问题.

2函数极值思维在企业营销中的应用

2.1 市场需求中函数极值思维的应用

通常市场对于企业商品需求，不仅会随着价格变化而变化，还会随着其他因素的变化而发生变动，若将消费者收入当作主要的因素，将其他因素当作固定因素，那么商品的需求量则会根据消费者的收入变化而发生变动，并呈现出一定的函数关系，人们把这种函数关系称为恩格尔函数.在企业营销当中，若某商品中的恩格尔函数呈现单调递增的趋势，那么此商品是正常商品；若该商品呈现单调递减趋势，那么该商品则是劣等商品.例如，设定市场中某商品A和人们收入x之间存在恩格尔函数关系，即A（x）=.那么在人们收入x减少时，产品市场需求有这样的趋势：A’（x）=，A’>0，得出产品的市场需求量随着人们收入的减少而减少，这种产品就属于正常商品；当人们收入x=0时，产品的市场需求量为零，市场对产品的饱和需求量为5.再比如，某制鞋厂皮鞋的市场需求量B和当地人们收入x之间的恩格尔函数关系为B（x）=，那么B’（x）=，B"（x）=<0，B（0）=-6，B（3）=0，当人们收入x=0时，人们不会购买这种鞋子；当人们收入x>3时，会有对这种鞋子的需求.通过这样的恩格尔函数与极值的分析，可以帮助企业了解到某种商品在市场需求中的饱和程度，从而调节产品的生产线与库存，更好的促进企业发展.

2.2 企业资金投入中的函数极值思维应用

一些企业与投资商想通过高效率的资源运作来获得最大经济利润，在这些企业与投资商投资之前，需要对将要实施的投资机遇进行一些论证，这就需要有系统的体系对投资过程的各项参数进行分析，以了解资金投入后可能取得的利益与付出的成本，然后再根据这些数据信息进行投资，从而科学合理地做出投资决策，获得较高的投资回报率.

2.3 最大收益问题中的函数极值思维应用

2.3.1 进货量和最大收益间的关系

随着我国经济不断发展，企业的经济观念不断增强，加强成本核算，搞好生产经营，并有效提高企业效益，已成为企业营销当中必须考虑的问题.在当前企业经营当中，影响经营参数的因素较多，有些因素对于营销能否成功是至关重要的，例如，某商店的进货量问题，因商品存放需要费用，若进货量多了，其成本就会增加，而利润相应减少，并且存在积压现象.可进货量太少，则需要多次进货，其劳务费就会增加，因此，寻找恰当的临界点，才能获得最大的利润.

例如：某商店经营销售某品牌的洗衣粉，其年销售量是6千包，而每包进价为2.8元，但销售价为3.4元，若全年分成若干次进货，则每次进货为n包，每次进货的运输劳务费是62.5元，而全年的报关费用是1.5n元，将此商店营销的洗衣粉利润L表示成每次进货量n的函数，同时，指出了函数定义域，那么为了让收益最大，其每次进货量为多少包？

解：假设每次洗衣粉进货为n包，其全年总收益则为L=6000×（3.4-2.8）-（375000/n+3n/2）=-3/2（）2+2100，其函数定义域为[0，6000]，并且n为6000约数，因此，要让L值最大，也就是n=500时，Lmax=2100元，为了获取最大收益2100元，其每次进货量应该为5000包.

2.3.2 商品价格和最大收益间的关系

商品销售当中，商品的销售量通常与价格是紧密联系的，如果价格太高，尽管每件产品利润较高，但其销售量却比较低；若商品价格定得过低，那么企业就无利可图.在这两者之间存在临界点，临界点价格，能让企业获取最大收益，怎样找出此临界点，需要运用函数极值思维的方法进行分析处理，对前期销售的信息进行分析，获取最佳的销售价格.收益通常所指的是生产者所出售的商品收入，而总收益则是指一定量的产品出售之后，获得的全部收入，其总收益可记为Y，总收益Y是销售数量x与销售价格n的乘积，以营销量x作为自变量，Y为因变量，那么Y和x间的关系式为Y=Y（x）=n.x为总收益的函数，因销售量越大，其收入就会越多，因此，最大收益所指的是总收益的函数Y=Y（x）=n.所求问题为当x值是多少的时候，Y值是最大的.

例如：某商场所批发的某商品进价是80元/个，零售价是100元/个.为了更好地促进销售，尝试采取买此商品就赠送小礼品的方法，一个商品就赠送一个礼品，通过试验可知，此礼品的价格是1元时，其销售量能增加10%，而且在一定的范围中，礼品的价格若每增加1元，其销售量就能增加10%，假设没有赠送礼品的时候，其销售量是x件.求礼品价值是m元时，其所获收益Y与m之间的函数式，并求出礼品价值为多少时，其获得的收益最大.

解：所获收益Y与m之间的函数式为：Y=x（10%+1）m（20-m）.若收益最大，则需要同时满足下列关系式：x·1.1m（20-m）≥x·1.1m+1（20-m-1），x·1.1m（20-m）≥x·1.1m-1（20-m+1）；通过解两方程式可知，当x=9或者x=10的时候，其Y值最大，因这是实际的应用问题，因此，其礼品价值是9元时，可获取最大收益.

2.4 库存管理中函数极值思维的应用

通常企业为了能完成一定生产任务，确保生产的正常进行，需要准备一定的材料.当总需求量不变的情况下，其订购的次数越少，批量越大，订购的费用就会越小，但保管费用就会相应的增加.总需求量不变，订购的费用越大，其报关费用就会越小.如何确定订购的批量，才能让总费用变得最少，这已成为库存管理中值得商榷的问题.通过对整批间隔的进货状况进行研究，也就是某物质库存量下降至零时，那其订购、库存量与到货等就会由零逐渐恢复至最高的库存量，同时每天确保等量供应的生产需求，可保证不出现缺货现象.

例如：某企业为汽车装配厂，其轮胎每年需用量是2.4万个，单个轮胎价格是400元，而平均每次的订货费用之和是640元，每年的保管费用率是12%，求最优的订购批量与订购次数，并求出最优的订购周期与最小的总费用.

解：假设订购批量是Y，订购的次数是x，订购的周期是N，总费用是M.那么全年总共的订购次数是24000/Y，其订购的费用是24000×640/Y，而全年的平均库存量是1/2Y，保管费用是400×1/2 ×12%Y=24Y，而总费用M=24000×640/Y+24Y，总费用M与订购批量Y之间存在函数关系，要让总费用最省，可令dM/dY=0，也就是-24000×640/ Y2+24=0，因此，最优的订购批量Y=800个/批，其最优的订购次数：x=2.4万/800=30批；而最优的进货周期：N=360/30=12d；所以，最小的费用M= 24000×640/800+24×800=3.84万元.

5. 生产成本及利润关系中的函数极值思维应用

在实际的生产当中，会遇到此类问题，当生产条件一定的情况下，怎样生产才能让成本最低，企业获取的利润最大，这也需要用到函数极值方法.

例：某企业在生产某产品时，其固定成本是5千元，每生产百台产品所直接消耗的成本会加大2.5千元，如果市场对此产品年需求量是500台，那么销售收入函数是Q（n）=5n-1/2n2，且0＜n＜5，n为产品售出数量，那么Q（n）是收入，将利润L表示成年产量函数，那么年产量是多少的时候，企业获得的利润是最大的？

解：利润L为生产数量n售出后的总收入Q（n）和总成本M（n）间的差.它们需要同时满足下列两个方程式：L=5n-（1/2+1/4n）-1/2n2，且0≤n≤5；L=（5×5-52×1/2）-（1/4n+1/2），且n＞5.通过解方程式可知，n=b/2a=475台时，Lmax=10.78万元.因此，当企业生产475台的时候，能够获取的利润是最大的.

3 结语

在社会经济生活当中，函数极值思维应用非常广泛，尤其是在企业营销当中，函数极值思维对于资本投资与最大收益获取等方面具有重要影响作用.通过合理运用函数极值思维，可有效解决企业资金投入、商品价格和最大收益、库存管理及生产成本和利润之间的关系等问题，更合理的利用投资数据，从而促使企业获得良好的投资回报，做出准确的投资决策，提高企业的市场竞争能力.

参考文献：

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（7）卜芳.函数极值知识在生活中的应用[J].科教文汇，2012（10）：84-84.

（8）吴恒煜，赵平.我国商业银行操作风险的度量——基于极值理论的研究[J].山西财经大学学报，2009（8）：109-115.

函数最值的应用篇(7)

【关键词】：函数思想；方程思想；应用

[Abstract]: function and equation is the most important content in middle school mathematics. Function and equation thought is one of the important basic thought of in the high school mathematics, has been widely used in problem solving, over the years is a key test of the college entrance examination.

[keyword]: function; equation; application

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：2095-2104（2013）

函数与方程是中学数学中最为重要的内容。函数与方程思想更是中学数学中的重要基本思想之一，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。

函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想的精髓就是构造函数。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

方程的思想与函数的思想密切相关，函数与方程的思想方法，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的运用。对于函数，当时，就转化为方程，也可以把函数式看做二元方程，函数与方程这种相互转化的关系十分重要。

函数与表达式也可以相互转化，对于函数，当时，就转化为不等式，借助与函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。

数列的通项或前项和时自变量为自然数的函数，用函数观点去处理数列问题也是十分重要。

函数与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题。

解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。

立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。建立空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切。

函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关问题，达到化难为易、化繁为简的目的。

高考中的方程和不等式问题包括方程、不等式的求解及方程、不等式观点的应用，可以分成逐渐提高的四个层次。

第一层次：解方程或不等式，主要是指解代数（一次、二次等）方程或不等式，指数、对数方程或不等式，三角方程或不等式，复数方程等；

第二层次：对带参数的方程或不等式的讨论，常涉及二次方程的判别式、韦达定理、区间根、区间上恒成立的不等式等问题；

第三层次：转化为方程的讨论，如曲线的位置关系（包括点与曲线及直线与曲线的位置关系）、函数的性质、集合的关系等；

第四层次：构造方程或不等式求解问题。

其中第三、四层次（特别是第四层次）已经进入到方程、不等式观点应用的境界，即把方程、不等式作为基本数学工具去解决各个学科中的问题。

纵观中学数学，可谓是以函数为中心，以函数为纲，“纲举目张”，抓住了函数这个“纲”就带动起了中学数学的“目”。即使对函数极限、导数的研究，也完全是以函数为对象、为中心的。熟练掌握基本初等函数的图像和性质，是应用函数与方程思想解题的基础。善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键。

函数思想

所谓函数思想，不仅仅是使用函数的方法来研究和解决函数的问题，它的精髓是运用函数分析问题、、解决问题的观点、方法，是通过构造函数关系，使用函数方法来解决问题的思想。

构造函数，运用函数的性质

例1.（1）已知关于的方程有唯一解，求的值；

（2）解不等式。

分析：（1）构造函数，则问题转化为求的零点唯一时的。

（2）由观察可构造函数再利用函数的性质，解决问题。

解析：（1）令，

的图像关于轴对称，而题设方程由唯一解，从而此解必为（否则必有另一解），。

（2）设，易证在区间内为增函数。点评：有关不等式、方程及最值之类的问题，通过构造函数关系式，借助函数的图像与性质，常可使问题简单得解。

2.选定主元，揭示函数关系

例2．对于的一切值，使不等式恒成立的的取值范围是

分析：从一个含有多变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系。

解析; 且，，即。①

当时，不定式①不成立。

当时，设。

当，

即又当，

即故的取值范围时。

点评：本解的巧妙之处是“反客为主”，求x反而以a为主变元对x进行讨论，这才是真正切中要害。若以x为主元对a进行讨论，则问题的解决就繁就难多了。

3．选取变元，确定函数关系

例3．函数的值域是。

分析：一般思路是：平方，移项，孤立根式，再平方，可以化无理式为有理式。面对这样一个低于四次的含双变量的方程，其难度真不敢想象。然而，可考虑转换选取新变元。

解析：由，设，

那么，

当

点评：虽然经选取变元后的函数简洁明快，可以使人拍案叫绝，但须特别注意到：转化后的函数上没有单调性，故最大值不能在其右端点取得。

4.利用二项式定理构造函数

例4：求证：。

分析：构造函数，比较两个展开式中的系数。

解析：令，展开式中的系数，又

其中的系数为，故=。

点评：利用函数，用赋值法或“二项”展开来比较系数可以解决许多二项式定理有关的问题。

5.用函数的思想方法解数列题

例5.已知不定式对一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围。

分析：无法求和，常规数列的方法就不起作用了，故必须用函数的思想，用研究函数单调性的方法研究这个数列，求出最小值。

解析：令

，

所以为增函数，且

由题意得。

点评：利用数列的函数性质（本例为单调性）求出的最小值。用函数方法解决问题，正是函数思想的核心。

6.建立函数关系解应用题

例6.用总长为14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，要求底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。

分析：这里有四个变量：底面的长、宽、长方体的体积和高。设长、高可用x表示，容积y是x的函数。运用长方体的体积公式，建立目标函数表达式，再求函数的最大值。

解析：设容器底面宽为x(m),则长为x+0.5(m),高为

由，设容器的容积为y(m),则有

整理得，求导，得

，令即

解得。从而，在定义域内只有在。因此，当时，y取得最大值，这时，高为。

答：当容器的高为1.2m时，容积最大，最大容积是1.8(m)。

点评：此题容易忽视的时自变量x的取值范围，缺少它，很难判断求出的最大值是否符合题意。另外，适当设出自变量，建立函数关系是解此类题的关键。本题在求函数最大值时，是用求导的方法求出极值点，再根据实际情况判断是最大值还是最小值。

7.函数思想在几何中的应用

例7 如图,是圆的直径,垂直于圆所在平面,是圆周上任意一点,设,.求异面直线和的距离.

分析：因为异面直线间的距离是连结异面直线上任意两点的线段中的最短者, 因此本题可用求函数最小值的方法来解, 这里建立函数表达式是解题的关键

解析： 在上任取一点,过点作于,过作于,连结,设,由题设易证

因为是等腰直角三角形,所以

在中,

因为,

所以,当时,

点评：本题主要是根据几何关系建立函数关系式,通过解决函数问题来求出对应的几何问题.

方程的思想

方程与函数密切相关，在解题中，方程的思想占有重要的地位，也是近年来高考所重点考查的数学思想方法之一。

解方程或分析方程的解

例8.已知实数成等差数列，成等比数列，且求。

分析：利用数列的有关公式，列出方程组求解。

解析：由题意得由1、2两式，解得，将带入3式，整理得

故。经验算，上述两组数符合题意。

点评：本题的列方程组和求解的过程，体现的就是方程的思想。

2通过换元构成新的方程

例9.关于的方程恒有解，求的取值范围。

分析：通过换元将方程变为二次方程恒有正根，同时利用根与系数的关系。

解析：（法一）设原方程有解即方程有正根，

即，

解得

（方法二）设

①当

；

②.

综上可得，。

点评：对于多元方程（含参数）通常有两类办法：一是换元，将问题转化为二次方程，利用根与系数的关系或判别式，或者利用三角函数的有界性加以解决；二是分离变量构造函数，把方程有解转化为求函数的值域，再根据函数的图像和性质来解决。

3.构造方程求解

例10.设函数，且存在使得成立。

⑴若

⑵若直线的图像交与M,N两点，且M,N两点的连线被直线平分，求出的最大值。

分析：对于⑴小题，由题设条件易得，由方程根的意义可构造一个根为的一元二次方程，再借助韦达定理发现与对称轴的关系。最后运用二次函数的单调性可判断出；第⑵小题可先建立的函数关系式，再运用均值不等式可求得的最大值。

解析：⑴由题意

的图像的对称轴为，

⑵

。由，代入直线方程，得

当且仅当。

点评：若没有方程的思想意识，则不能从中观察出m,n是某一个一元二次方程的两根，从而也就无法得出这样有用的关系式，使解答陷入困境。因此，由根的意义或韦达定理构造一元二次方程是最常见的思路，不可忽视。

函数与方程相互转化的思想

解题时，不能局限于函数思想或方程思想，而应该根据两者之间的相互关系，使其能相互转化，以达到快速解题之目的。

例11.已知抛物线

⑴当为何值时，抛物线与轴有两个交点？

⑵若关于的方程的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求的取值范围；

⑶如果抛物线与轴相交于A,B两点，与轴交于C点，且的面积等于2，试确定的值。

分析：⑴令函数，则转化为求方程有两个不等的实根时的值；⑵利用根与系数的关系转化成解不等式；⑶建立面积的函数关系式，再求函数值为2时方程的解。

解析：⑴令据题意，须，

即。

⑵在得

所以m的取值范围是

⑶由。

点评：型的抛物线，二次方程以及二次不等式之间相互关联，应特别关注它们相互转化时的等价性和互补性。