函数教学论文篇(1)

关键词:指数函数;教学设计;教学案例;多媒体;有效教学

指数函数是高中数学的重点内容之一，从教学要求看，一是理解指数函数的定义;二是掌握指数函数的图像与性质。下面是笔者在公开教学中对指数函数教学设计的三处改进。

案例一:新课引入的改进

(一)原始设计

1.复习旧知:

②函数y=x的定义域是

2.引入新课:师问:函数y=()与函数y=x，从形式上看有什么不同?生答:从形式上看，前者指数是自变量，后者底数是自变量。(引入课题)

(二)改进设计

1.创设情境:有人说，将一张白纸对折50次以后，其厚度超过地球到月球的距离，你认为可能吗?设白纸每张厚度为0.01mm，已知地球到月球的距离约为380000千米。

对折的层数y与对折次数x的函数关系式是什么?设纸的原面积为1，对折后纸的面积z与对折次数x又有什么关系?(y=2x，z=()x)

2.提出问题:师问:能发现y=2x，z=()x的共同点吗?

学生思考片刻，教师提示:从形式上，有什么共同点?并用红粉笔标出指数x。

生答:指数x是自变量，底数是大于0且不等于1的常数。(引入课题)

(三)教学反思

凯洛夫的“五环节”教学理论:“复习旧课—导入新课—讲授新课—巩固—作业”目前还深深地影响着我们的教学。但如果总是这样一成不变，就显得呆板与程式化。我们现在上课总喜欢说:“今天我们学习……”。教师不说，学生不问，教师怎么讲，学生就怎么学。我们知道，数学来源于生活，又应用于实践。在原始设计中，先复习与新授知识相关的内容，然后再从实际引入新课，与教材编排相一致，这样就数学讲数学，显得枯燥无味，很难调动学生的学习兴趣。为此，从学生感兴趣的一个生活实例出发，引起学生注意与争议，教师再创设实际问题情境，就激发了学生的学习兴趣，牢牢地吸引了学生的注意力，增强了学生的求知欲望，强化了学生内在的学习需求，巧妙地导入了新课。

案例二:多媒体使用的改进

(一)原始设计

1.电脑作图:教师用多媒体演示y=2x、y=()x的作图过程。

2.观察猜想:教师引导学生观察y=2x、y=()x的图像，猜想y=3x的图像形状。

3.电脑验证:教师用几何画板做出y=3x的图像，验证猜想。

4.归纳猜想:由特殊到一般，给出指数函数的图像分为01两类，并用多媒体演示它们的图像特征和性质。

(二)改进设计

1.学生作图:在教师的指导下学生分组后用几何画板作y=2x、y=()x的图像。然后，让学生在电脑上作y=3x，y=5xy=10x，y=0.2x，y=0.7x等函数的图像，并对图像形状的变化加以观察与讨论。

2.猜想形状:让学生猜想函数y=8x，y=0.3x的图像形状，师生讨论，并列出有关观察结论。

3.分组探究1:一般地指数函数的图像大致有几类(几种走势)?

4.分组探究2:分别满足什么条件的指数函数图像大致是图1、图2?

5.电脑验证:用几何画板作y=ax(a>0且a≠1)图像，任意改变a的值，展示底变化对图像的影响。

(三)教学反思

原始设计，多媒体演示放在猜想之后，仅仅起了一个验证的作用，体现不了计算机辅助教学的目的，有点画蛇添足，成了一种花架子。

改进之后，按照“动手操作—创设情境—观察猜想—验证证明”的思路设计，首先电脑作图，为学生观察、交流创设情境;然后，引导学生深入细致地观察图像，学生在相互争论、研讨的过程中进行民主交流，倾听他人意见，分享研究成果，猜想出图像分两种情形;最后，再用多媒体验证猜想。这样设计符合学生的认知规律和思维习惯，激发了学生的求知欲，增强了学习的自信心，张扬了学生的个性，顺利地解决了这一教学难点。

我们在使用计算机辅助教学时，千万不要忘记“辅助”二字，辅助在不用多媒体教学时的难点处，辅助在点子上，而不能为了用多媒体而用多媒体。案例三:指数函数的性质发现过程的改进

(一)原始设计

1.师生作图:教师作y=2x的图像，以作示范。然后学生模仿作y=()x的图像，以巩固作图方法。

2.电脑演示:教师用多媒体演示y=2x、y=()x的作图过程。

3.观察特征:教师引导学生观察上述两个图像的特征，并推广到一般情形。

4.归纳性质:根据图像特征，写出它们的性质。

(二)改进设计

在前面学生分组用多媒体做出y=2x，y=()x，y=3x，y=5x，y=10x，y=0.2x，y=0.7x等函数图像的基础上，教师引导学生观察、讨论、归纳得出性质。

1.自主观察:对一般的指数函数，图像有哪些特征?

2.分组讨论:学生分组讨论后，展示讨论的结果。除得到图像的一般特征，更值得一提的是，有的学生还说出了函数y=2x与y=()x的图像关于y轴对称等特征。

3.归纳性质:根据图像特征，写出它们的性质。

4.作示意图:根据指数函数的性质，教师让学生作出y=8x，y=0.6x等函数图像的示意图。

师:观察与猜想是一种感性认识，并不表示结论一定正确，还需要进行理性证明……

(三)教学反思

新课程标准指出:要改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现象，倡导主动学习、乐于探究，勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力及交流合作的能力。因此，教师要把学习过程中的发现、探究、研究等认知活动突显出来，使学习过程更多地成为学生发现问题、研究问题及解决问题的过程。

上述两种设计都注重让学生从事有意义的数学活动，都涉及了学生的探索活动和经常使用的研究方法，如从特殊到一般，再由一般到特殊，类比、联想、猜想等。

原始设计在实际教学中，活动缺乏内在联系，加上教师的束缚，活动单一，学生得出图像分两类显得较为生硬，接着研究的一般情形又似乎来得“突然”，从特例到一般情形并未起到搭桥引渡的作用，形成了一个认知难点。这样的设计没有真正发挥学生的主体作用，实际上还是教师主导着课堂，牵着学生走，还是在教知识、教教材，是一种主导性教学模式。

改进后，改变了教学方法，教师放弃了全程主导，把学习的主动权交给了学生，由他们自己去观察、去发现，在学生交流、研讨、互动的过程中，学生观察深入，思维活跃，富有创造性。教师则以学生伙伴的角色参与学生的认知学习，在与学生的互动交流中指导学生，并积极地关注、倾听学生的交流。这样设计符合学生的认知规律和思维习惯，为学生营造了安全的心理环境，学生非常顺利地学习了指数函数的性质，而且学生觉得这些思想方法是非常自然的，可以学到手且以后能用得上，为今后的学习作了必要的铺垫，这是一种典型的指导性教学模式。

学生是学习的主人，自主学习是他们的天然权利，任何硬性灌输和强制训练都是侵犯学生学习的行为。

参考文献:

[1]罗文杰.指数函数的教学设计[J].广东教育，2007，(7):205-207.

函数教学论文篇(2)

关键词：复变函数论；引入式教学；对比式教学；反例式教学；总结式教学

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）04-0145-02

复变函数论是高等院校数学专业的一门重要基础课程。作为数学分析的后续课程，该课程的教学对数学专业学生的培养起着重要作用，它在数学其他分支、力学、工程学等领域中有着广泛的应用。本文根据笔者自身关于复变函数论课程的教学实践和体会，对“引入、对比、反例、总结”几种教学方法略作刍议。

一、采用引入式教学方法

古语说“温故而知新”，在教授新的理论时，要以已知理论为基础。复变函数是数学分析中实变函数论在复数域内的推广，其主要研究复数域上的解析函数。在课堂讲授中，应该以实变函数的理论为源头，引入复变函数的相关理论。例如，基于复数z=x+iy与复平面上的点（x，y）的一一对应关系，复变函数w=f（z）（其中w=u+iv）的定义可以由两个二元实变函数引入，即f（z）=u（x，y）+iv（x，y）。具体到一些简单函数，比如讲授复变函数中正弦函数sinz的定义时，如何来确定此时的u（x，y）和v（x，y）的形式。应该首先考虑数学分析中正弦函数sinx的一系列性质（比如：周期性、奇偶性、连续性、可微性等）。在符合：①sinx是sinz限制在x轴上的表示，②sinz尽量满足sinx具有的性质，这两个条件的前提之下，确定u（x，y）=excosy和v（x，y）=exsiny，即sinz=ex（cosy+isiny）。该结构是sinx在复平面内的最有效的推广。

二、结合对比式教学方法

三、嵌入反例式教学方法

四、注重总结式教学方法

复变函数论课程中概念、方法和定理众多，这给教学带来一定的难度。因此在教学过程中，引导学生对复变函数的相关内容进行归纳总结是非常有必要的。比如，在讲授完复变函数积分理论以后，可以将求复积分的方法总结为如下几种。

另外，要注意到方法1～3一般用于求解积分曲线是非闭的积分；方法4～6适用于求解积分曲线是简单闭曲线的积分。照上述的总结，可以快速、准确地求解各类复积分。具体的例子在相关文献中已有讨论。

总之，在复变函数论的课堂教学中，应充分利用“引入、对比、反例、总结”式的教学方法，积极调动学生学习的积极性和主动性，不断完善教学计划和内容，这样才能提高复变函数论课程的教学质量。

参考文献：

[1]西安交通大学数学教研室.复变函数[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2]钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2004.

函数教学论文篇(3)

关键词： 复变函数 解析函数 教法

《复变函数》是高等学校理工科学生的专业必修课，在建设应用型本科高校的背景下，由于复变函数的广泛应用性，这门课程正在被越来越多的高校重视.如何才能教好复变函数课程，已经是摆在教师面前的一个重要课题.我就复变函数中解析函数的教学方法提出自己的看法.

解析函数是复变函数课程中的重要内容，也是学生学习复变函数课程的难点，对解析函数的准确理解有利于学生更好地掌握复变函数的特点.本文重点围绕解析函数的几种等价判别方法，分析解析函数的教学.

1.按照定义理解解析函数

如果复变函数w=f（z）在点z■及z■的某邻域内可导，则称w=f（z）在点z■解析；如果w=f（z）在区域D内每一点都解析，则称w=f（z）在区域D内处处解析.

根据解析函数的定义我们可以知道解析函数与可导函数很类似，但又不完全一样，如果函数在某点解析，那么函数在该点一定是可导的；反过来却不一定成立.从直观上来看，解析函数是一个整体性的概念，可导函数是一个局部性概念，与可导函数相比，解析函数要求更高一些.还要指出的是：对一个区域而言，函数在区域内可导与解析是完全一样的，主要原因在于区域是连通的开集.

教师在教学过程中应该重点讨论函数f（z）=z，g（z）=■和h（z）=|z|■的解析性和可导性，比较它们的不同，通过定义我们可以知道函数f（z）=z在整个复平面上处处解析也处处可导，函数g（z）=■在整个复平面处处不解析也处处不可导，但是函数h（z）=|z|■在z=0可导但不解析，主要原因在于函数h（z）在z=0任一邻域内都有不可导的点，不能满足解析函数的定义.

2.根据柯西—黎曼方程理解解析函数

按照文献[2]中的定理，复变函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析的充要条件为：

（1）u■，u■，v■，v■在D内连续；（2）在D内有u■=v■且u■=-v■.

其中第二条称为柯西—黎曼方程，该定理为我们提供了一种判别复变函数是否解析的方法，对于一个区域内的复变函数只要满足上面条件，就可以说明它是解析的；反过来，解析的复变函数也一定满足上面两条结论.实际上，该定理也可以看成是解析函数的等价定义.

需要指出的是，对于常见的初等函数，如三角函数、对数函数和指数函数等，它们的解析性都是通过上面定理证明.比如对于指数函数f（z）=e■=e■cosx+ie■sinx，经过简单计算可知它的实部和虚部对所有的点都是满足上面两条结论的，因此指数函数在整个复平面上都解析，最后为了方便应用，只要记住这些初等函数在什么的范围解析就可以了.关于初等函数的详细讨论可以参考文献（3）—（4）.下面举例说明如何应用该性质分析复变函数的解析性.

例1：讨论函数f（z）=x■+iy■的解析性.

解：因为函数的实部和虚部分别为u（x，y）=x■，v（x，y）=y■，所以u■=2x，u■=0，v■=0，v■=2y.

从而u■=0=-v■，要u■=2x=v■=2y，必须y=x，故仅在直线y=x上柯西—黎曼方程成立，从而函数f（z）=x■+iy■仅在直线y=x上可微，但在整个z平面上处处不解析.

3.通过柯西积分定理和摩勒拉（Morera）定理理解解析函数

柯西积分定理[2]：如果函数f（z）在z平面上的单连通区域D内解析，C为D内任一条简单闭曲线，则？蘩■f（z）dz=0.

摩勒拉（Morera）定理[2]：如果函数f（z）在单连通区域D内连续，且对D内任一条简单闭曲线C有？蘩■f（z）dz=0，则f（z）在D内解析.

这两个定理主要通过积分形式判别函数是否解析，虽然柯西积分定理的证明比较麻烦，但是该定理的应用十分广泛，可以极大地简化积分计算，比如应用该定理计算积分？蘩■z■sin■ze■dz时，可以利用函数f（z）=z■sin■ze■在整个复平面上解析的特征判断它的积分的值为0，教师在教学过程中应该与高等数学上的微积分基本定理进行比较，说明该定理在复变函数中的重要性.需要注意的是，当判断函数在某区域内是否解析时，人们很少去用该定理判断，主要原因在于任意闭曲线在实际计算中很难表示.

4.通过共轭调和函数理解解析函数

根据文献[2]共轭调和函数的概念可知，复变函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析的充要条件为：在区域D内v（x，y）是u（x，y）的共轭调和函数.需要注意的是，利用该性质不仅可以判断函数的解析性，而且可以构造解析函数.下面我们举例说明解析函数的构造问题.

例2：已知二元函数u（x，y）=x■+xy-y■，能否构造出解析函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y），如果能，请写出函数f（z）的具体形式.

解：对函数u（x，y）求偏导数可得：

u■=2x+y，u■=x-2y，u■=2，u■=-2.

故u■+u■=2-2=0，从而函数u（x，y）在整个z平面上为调和函数，于是利用上面性质，可以判断所求的解析函数f（z）必定存在.下面求该函数的具体值，利用柯西—黎曼方程可得v■=-u■=2y-x，v■=u■=2x+y，从而对函数二元函数v（x，y）微分可得，

dv=v■dx+v■dy=（2y-x）dx+（2x+y）dy

=（2ydx+2xdy）+（-xdx+ydy）

=d（2xy）+d（■（y■-x■））

=d（2xy+■y■-■x■）

所以函数v（x，y）=2xy+■y■-■x■+C（C为任意常数），函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在整个复平面上解析.

解析函数与调和函数具有很多类似的性质，对于解析函数我们有柯西积分公式；而对于调和函数，有与柯西积分公式相似的泊松（Poisson）积分公式.解析函数有平均值定理和极值定理；而调和函数也有类似的结果.通过调和函数去分析解析函数，能够帮助学生更好地掌握解析函数的性质.

调和分析是一种极为复杂的数学分析理论，大部分复变函数书都只是对该方面进行简单介绍，关于该理论的详细情况，教师可以指导学生查看其他书目.

5.通过级数理论理解解析函数

级数也是研究解析函数的一个重要工具，把解析函数表示成级数不仅有理论意义，而且也有重要的实际意义.文献[2]中指出了，函数f（z）在区域D内解析的充要条件是：f（z）在区域D内任一点a可以展成z-a的泰勒级数.

利用泰勒定理，我们得到了级数与解析函数的关系，从而可以通过分析级数的性质去理解解析函数的概念.对于幂级数而言，只要求出其收敛半径，就可以断定它的和函数在收敛圆内处处解析.

参考文献：

[1]陆庆乐.工程数学：复变函数[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2]钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]钟玉泉.复变函数学习指导书[M].北京：高等教育出版社，2010.

函数教学论文篇(4)

【关键词】数学分析 概率论与数理统计 数值分析

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）07-0155-01

数学是研究自然科学的基础工具之一，对科技领域和现代生产实践产生了巨大的推动作用。而《数学分析》作为信息与计算科学专业一门主要的专业基础必修课，其教学的成败对信息与计算科学专业的学生的数学素质的培养起着关键的作用。它是后续课程《常微分方程》，《概率论》，《数理统计》，《数值分析》等的基础。《数学分析》中的有些知识点在这些课程中得到了直接的应用，需要在《数学分析》教学中加以强调及重视。以下就本人的所知总结如下：

一、归结原则在《概率论》中的应用

定理1 若存在单调增（减）数列a■，满足

（i）■an=x■，

（ii）数列■f(an)=A，

则有■f(x)=A（■f(x)=A）。

这个定理在《概率论》中证明分布函数F(x)的右连续性时起到了关键的作用。在《数学分析》中强调这个定理，将为学生理解分布函数F(x)的右连续性奠定基础。

二、傅里叶变换的应用

《概率论》中分布的特征函数是研究随机变量分布的一个重要内容。连续分布的特征函数和其概率密度是一一对应的。第一，特征函数在求随机变量和中简化了计算过程。第二，有些多元随机变量的密度函数无法表示出来，但其特征函数是唯一确定的，例如多元正态分布，如果其方差矩阵非正定，其概率密度将无法写出，但是其特征函数是唯一确定的。因此特征函数在研究多元随机变量的分布中起到不可忽视的作业。而特征函数正是概率密度的傅里叶变换，在《数学分析》中强调傅里叶变换的定义，性质，对学生理解和运用特征函数奠定基础。

利用傅里叶积分变换的性质求线性微分方程和线性微分方程组的解也是一个重要内容。

三、多元函数极点存在必要性的应用

1.最大似然估计是《数理统计》的一个重要内容，而求似然函数的最大值点的依据就是多元函数极点存在的必要性。

2.线性回归分析中确定系数的最小二乘法的理论依据就是多元函数极点存在的充要条件。

3.条件极值是《数值分析》中求最优化解的主要方法,而拉格朗日函数正是求条件最优解的常用方法，在教学中可以联系《数值分析》，有针对性的加以讲解。

四、含参变量积分的应用

1.《概率论》中求边际概率密度及求分布的特征函数的依据是含参变量的积分和含参变量反常积分性质。

2.《概率论》中伽玛分布和贝塔分布是含参变量反常积分B函数和 函数的应用。B函数和г函数的定义，定义域，性质， B函数和г函数的关系在研究伽玛分布和贝塔分布中起到了很重要的作用。如《数学分析》中的如下例题：

例：计算积分■e■dx

解：令t=x■，则■e■dx=■■e■t■dt=■г（■），

利用B函数和г函数的关系得到

B(■,■)=■г(■)■，

再利用B函数的另一表达式，得到

B(■,■)=2■dθ=π，

所以得到结论г(■)=■,■e■dx=■■e■t■dt=■г（■）=■。证毕。

在这个问题的证明过程中用到了B函数和г函数的关系，B函数的性质，而结论

г(■)=■, ■e■dx=■

更是《概率论》研究正态分布，伽玛分布和贝塔分布数的关键。这个例子的证明及结论有针对性加以强调，对后续的《概率论》有重要的作用。

五、黎曼积分的应用

黎曼积分在物理和工程上有重要的应用，其定义和计算方法是《数学分析》的重要内容。在《概率论》，《数值分析》，《常微分方程》，《泛函分析》等后续课程中，黎曼积分的计算和性质是学生面对的一个难点.在《数学分析》教学中，可将后续课程的内容，有针对性加以强调。

六、《数值分析》的几个知识点

误差估计和近似计算是《数值分析》的两个主要教学内容。

微分中值定理是误差估计的主要理论依据。

函数项级数是近似计算的主要依据。

例如：计算■cost■dt。

解：因为cost■=■■其收敛域为t∈R。由幂级数性质，可知

■cost■dt=■■■dt=■■■t■dt=■■。

当k充分大是，可得到■cost■dt的近似值，而且可以估计近似值的误差。

梯度方向是函数变化率最大的方向，在近似计算中可以加速近似计算的收敛速度,降低计算量。

了解后续课程的教学内容，在《数学分析》中有针对性的加以强调，或将后续课程的内容作为例题来讲，可以激发学生的求知欲和好奇心，为后续课程的教学奠定基础。

本人学识有限，关于《数学分析》在后续课程中的应用，还有待相关任课教师进一步完善。

参考文献：

[1]《数学分析》（第三版），复旦大学数学系，欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋编，高等教育出版社

[2]《概率论与数理统计教程》（第二版），茆诗松，程依明，濮晓龙编，高等教育出版社

函数教学论文篇(5)

（长江师范学院数学与统计学院，中国 重庆 408100）

【摘　要】柱函数是数学物理方法中的一个重要内容，它包括贝赛尔函数、诺伊曼函数和汉克尔函数。这些函数表达复杂、性质众多、计算过程繁琐，学生在学习过程中感到很困惑。特别是柱函数积分计算比微积分中的积分要困难得多，通常使用洛梅尔积分教学计算。它的特点是只涉及同类柱函数乘积的积分。而在同轴谐振腔和同轴波导教学中，我们经常要涉及不同种类柱函数乘积的积分。因此，对这类积分进行研究，得到一般公式并应用于教学。

关键词 柱函数；洛梅尔公式；积分

Discussion on Cylindrical Function Teaching

HOU Shen－yong　ZHAO Bo

(Institute of mathematical statistics, Yangtze Normal University, Chongqing 408100, China)

【Abstract】Cylindrical function is an important content of methods of mathematical physics. It includes Bessel function, Neumann function and Hankel function. Since these functions have complex expressions, lot of properties and the complicated process of calculation, students feel difficult to master them. In particular, the integral of cylindrical function by Lomel integral is more difficult than it in higher mathematics, which is usually the integral of same kind cylindrical function. However, the integral of different kind cylindrical function will appears in the teaching process of coaxial resonator and coaxial waveguide. Hence, this integral will be studied in teaching process.

【Key words】Column; Function; Lommel formula; Integration

作者简介：侯慎勇（1964.03—），男，汉族，重庆人，博士，长江师范学院，副教授，研究方向为高功率微波器件，在国内外公开刊物上发表了20余篇论文。

赵博（1979.05—），男，汉族，重庆人，硕士，长江师范学院，讲师，研究方向为数学教育，在国内外公开刊物上发表了10余篇论文。

0　引言

在柱坐标系里对拉普拉斯方程进行分离变量，人们得到了贝塞尔方程。它的解可由贝塞尔函数、诺伊曼函数和汉克尔函数表示[1-2]。在一般的数学物理方法的教材都给对它们的许多性质进行了详细的介绍。通过教师的讲解，学生都能够有效的掌握这些函数的性质和并且灵活的应用它们。但是，数学物理方法对柱函数的积分讲解不多，一般只介绍了贝塞尔函数的有关的积分，这对学生的后继课程的学习会带来不利的影响。因为在电动力学、电磁场与电磁波、微波工程课程中，经常会出现柱函数的积分，因此，在数学物理方法的教学中介绍一些柱函数的积分方法有助于学生对该课程学习。

本文针对这一问题，在柱函数积分的计算方面进行一些探讨。

1　柱函数的性质

在电动力学、电磁场与电磁波、微波工程的教学中，常常会出现在如图1所示的同轴圆。

Tmn（x）=AmnJm（x）+BmnYm（x）（4）

Jm（x）和Ym（x）分别是贝赛尔函数和诺伊曼函数，Amn和Bmn是与x无关的常数，Tmn（x）是贝赛尔函数和诺伊曼函数的线性组合。通常称Tmn（x）是同轴波导的柱函数。在以下的讨论中，我们介绍柱函数Tmn（x）的一些性质：

通过matlab软件画出Tmn（x）与Jm（x）和Ym（x）随x变化的图形，如图2。图中m=3，A=B=1。

从图2中，可以看到Tmn（x）与Jm（x）和Ym（x）和一样都是准周期振荡函数，而且Tmn（x）的零点在Jm（x）和Ym（x）的零点之间。这样可以帮助学生了解柱函数零点的性质。

在贝塞尔方程的教学过程中，学生都知道贝赛尔函数、诺伊曼函数和汉克尔函数都有以下的公式：

然而，柱函数Tmn（x）是否具有相似的性质? 在教学中引导学生证明了Tmn（x）对（5）~（7）也同样成立。

关于贝赛尔函数的积分，经常应用到的积分是洛梅尔积分公式[4]：

它主要出现在于圆波导中的相关计算中。但是，在同轴圆波导中，由于电磁场是通过（1）~（3）表示，因此，在电磁场的功率和不同模式的耦合的计算中，往往需要计算。但是，（8）~（9）式不能有效的解决这一积分的计算。为此，我们引导学生推导该积分公式：

式（10）~（11）是对洛梅尔积分公式的推广。

从式（6）~（11），我们可以发现贝塞尔函数、诺伊曼函数、汉克尔函数和柱函数Tmn（x）存在相似的性质，这些关系能够加深学生对贝赛尔函数、诺伊曼函数和汉克尔函数的认识，提高他们在后继课程对这些积分的计算能力。

2　柱函数的应用

在这里，通过事例说明（10）~（11）的应用。

例1　计算

解: 这个积分在同轴圆柱波导的教学中经常出现，无法使用公式（8）~（9）计算，而使用（10）~（11）可以方便的计算出个积分：

例2　在同轴圆波导和同轴谐振腔计算电磁场的功率时，会出现计算的两个积分

其中：vmn、R0是常数。

解：如果不采用公式（8）和（9），这两个积分是很困难的，而采用公式（10）和（11）时，过程就显得很简单。我们可以直接得到该积分

通过以上的推导，发现使用公式（10）和（11）能够贝塞尔函数与诺伊曼函数的乘积的积分和柱函数的积分变得容易简单。这给教学带来极大的方便，在学生后继课程的学习中对它们的学习提供一定的帮助。

3　结论

本文对柱函数的性质进行了研究，发现它与贝塞尔函数、诺伊曼函数、汉克尔函数存在相似的性质。这将有助于提高学生学习积极性，增加它们对贝塞尔函数的认识，有助于学生的后继课程的学习。

参考文献

［1］梁昆淼.数学物理方法[M].3版.北京:高等教育出版社,1998.

［2］胡崇斌.数学物理方法[M].2版.北京:高等教育出版社,北京大学出版社,2002.

［3］刘盛纲.相对论电子学[M].北京:高等教育出版社,2006.

函数教学论文篇(6)

关键词:主体性 比较法 复变函数 解析函数

中图分类号:G64文献标识码:A 文章编号:1007-3973 (2010) 01-168-01

随着教育部《基础教育课程改革纲要(试行)》、《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》和相应的各学科课程改革标的颁布和实施,国家新一轮基础课程改革的实施对教师的教学能力提出了更高的要求,如课程资源开发的能力,教会学生学会学习的能力,组织学生合作学习的能力,指导学生开展研究性学习的能力,对学生进行评价的能力,等等。但从近年来关于教师教学能力的调查研究结果来看,目前教师的教学能力现状不容乐观。因此,针对当前教师能力的实际情况,深入研究新课标背景下教师教学能力发展途径对于推进新课改、全面提高教育教学质量,指导高师院校教学具有重要现实意义。本文主要是在新课标背景下对工科《复变函数》教学方法进行初探。

1明确《复变函数》的重要性

复变函数是在实函数的基础上产生和发展起来的一个分支,是高等数学知识的一个延伸,它的许多性质、概念和意义与高等数学知识既有相同之处,同时又有新的发展和不同。复变函数课程是高等院校工科数学中的一门重要的专业基础课,它的许多理论与方法不仅给数学的许多分支提供一种重要的解析工具,而且在其他自然科学和各种工程领域如信号处理、理论物理、弹性理论等的研究方面有着广泛的应用。因此搞好复变函数的教学对师生来说都显得非常重要。

2消除学生对《复变函数》的神秘感,充分发挥学生的主动性

在上课的时候总有学生会问:“复变函数难吗?怎么觉得有一种神秘感?”针对这个问题在上课时不仅要明确复变函数的重要性还要消除学生的这种神秘感。比如关于复变函数的极限, 学生们常常认为复极限与实极限完全不相同,对极限问题的处理感到非常困难。学生已修完了高等数学对实二元函数极限已有了清楚的理解并对实二元函数极限的常用计算方法有了一定的掌握,此时复变函数课中的极限可以借助实二元函数极限来讲复极限。 在教学中, 可以在讲解复变函数与实二元函数的关系同时,比较复极限与实二元函数极限的差异并适当的突出、利用它们的相似点, 利用已学的实二元函数极限来学习复极限。复极限与实二元函数极限的基本思想是一致的, 利用实二元函数极限的学习来讨论复极限, 自然畅通, 易教易学。而且会加强学生对数学知识整体的把握和认识以及应用能力, 减少对《复变函数》课的神秘感。

另外在上课时还应充分发挥学生的主动性。在教学活动中, 应注重学生的主体意识,注意寻找适当的切入点。例如在上课过程中采用互动式教学,让学生有发言的自由,以便提高他们的学习积极性。如果忽视学生的主动性, 而一味强调教学内容的真理性、必要性,难于取得理想的教学效果;其次在教学中还应结合其专业介绍复变函数在他们今后学习中的用处。这样,学生就知道了复变函数在其专业中的应用,从而极大地提高学生的学习兴趣、积极性和主动性。

3《复变函数》与《高等数学》内容的衔接及比较法教学

这门课程是《高等数学》的后续课程, 知识体系与《高等数学》相关知识有着非常密切的联系。但是有一些学生由于《高等数学》没有学好而对《复变函数》产生恐惧感或逃避学习数学。针对这些问题,首先在教学中应注重本课程与《高等数学》的衔接, 既是对《高等数学》相关知识的复习, 也能加深对本课程的理解;其次在教学过程中应注意《高等数学》与《复变函数》的不同之处,采用比较法教学,从而使学生更好的掌握《高等数学》和《复变函数》的异同。

同时结合本课程自身的特点, 对知识点之间的异同点进行比较, 能加深认识, 也便于记忆。《复变函数》中的基本理论既相互联系又各有不同。通过比较方法, 可以使学生更加清楚这些基本理论的异同点, 加深记忆。在教学过程中应充分利用比较法这种教学方法,从而使学生能够更好的掌握复变函数这门课程。

4数学日记教学和笔记学习法

阅读学生的数学日记,有利于教师和学生的沟通并可以使教师更好的了解学生的掌握程度,以便在后面的教学中对学生掌握不太好的知识点重点讲解,从而改进教学方法。

在教学过程中发现记笔记的学生比不记笔记的同学掌握程度要好。这是由于《复变函数》这门课概念和定理较多,课程内容比较抽象且理论性较强造成的,因此在教学过程中教师会对重点和难点进行详细的分析,记笔记的同学在课下对照笔记和教材可以很好的消化这些知识;而不记笔记的同学就只能按照教材理解这些知识,他们的理解难免会有一些偏差。所以在教学过程中还应提倡学生记笔记。

在实际的教学中还应针对不同的学生采用不同的教学方法。

(基金项目:2008年河北省教育厅人文社会科学研究项目:新课标背景下教师教学能力发展途径研究:(Z080330))

参考文献:

[1]西安交通大学高等数学教研室.工程数学―复变函数[M] . 北京:高教出版社,1996.

[2]陈荣军.关于工科《复变函数》教学的讨论[J].常州工学院学报.18.2005 (12).

函数教学论文篇(7)

关键词：初中数学；二次函数；教学策略

函数不单单是一个数学定义，而且还是重要的学习数学方法。“二次函数”是开启数学大门的一把钥匙。可是，在教学过程中，很多老师不能深入讲解，不能把抽象的函数具体化，很多学生都不理解。所以，老师需要根据学生特征，创新教学方法，不仅要学生掌握基本知识，而且还要从深度上进行扩展。

一、初中数学“二次函数”教学存在的主要问题

鉴于初中数学“二次函数”是数学学习中学生比较难掌握的知识点，又是初中学生学习数学必须掌握好的课程，我国当前初中数学“二次函数”教学仍然存在一些问题，主要包括以下几点：

1.学习效率不高，对基本知识不甚理解

函数在本质上就是对相关数据变化的总结。函数的变化很多，内容丰富，学习起来需要先掌握函数的基本常识。然而，对函数学习没有掌握一定的方法，反而产生了厌倦情绪，学习兴趣不高涨。

2.方法守旧，没有创新

大部分老师没有进行生活教学，对抽象知识没有具体化，没有创新教学方法。函数如果不结合实际进行教学，往往会让学生不能理解，觉得函数是空洞的，不切合实际的。

3.函数图形在函数教学中实际运用不多

函数图形是最能简洁明了反映函数内容的主要形式，学习函数好的学生可以通过单一的函数图形来理解和分析函数中包含的所有内容。但是，很多老师在函数教学时往往只是机械地告诉学生函数图形的存在，并没有使学生充分认识和理解函数图形。

二、初中数学“二次函数”教学中主要策略

1.循序渐进，打好基础，强化理解

初中函数的“二次函数”教学与学习，是初中函数教学的较高阶段，其教学的好坏直接受前期函数基本理论、一次函数的学习情况影响。为了更好地学习“二次函数”，提高教学质量，必须循序渐进地一步一步打好函数基础，先学习好函数基础理论，逐步学习“一次函数”，然后进入“二次函数”的教学；必须强化对“二次函数”的理解，学习“二次函数”最重要的关键点就是理解好函数的形成方程、图形表达方式，要通过图形来理解和掌握“二次函数”。

2.结合函数图形进行“二次函数”的教学

学习数学函数的最高境界就是能够用图形表达一切函数，这也是函数的魅力所在。初中数学“二次函数”教学应该以函数的基本宗旨为出发点，用函数图形来表达函数内容。但是，鉴于每个学生对函数的理解不同，利用函数图形教学也应该根据实际选择教学方法，由于很多学生还没有入行学习函数，如果单纯地用数学图形进行函数教学，可能会导致学生学习函数的难度较大。为此，数学函数图形的教学应该循序渐进，结合方程式进行教学；先用方程式把函数的基本内容进行讲解，等学生把函数方程式学习差不多时，以函数图形进行深入讲解。这样不仅能够加深学生对函数的理解，而且能够激发学生学习函数的积极性，为学生学习更高层次的函数打下基础。

3.培养学生学习函数的兴趣，提高学习积极性

学习兴趣是学生主动学习的基础，为了提高初中“二次函数”的教学质量，培养学习兴趣尤其重要。近年来，各个阶段的教学都倡导讨论式教学，以激发学生学习兴趣为教学的终极目标，也是相应国家大力推广素质教育的基本要求。素质教育与应试教育的主要区别就是是否能够激发学生学习兴趣，让学生主动学习，参与到学习讨论中。素质教育不仅能够提高学生综合素质，更能够直接提高学生的学习成绩。初中“二次函数”教学如果能够让学生变被动为主动学习，提高学生学生的主动性，学生学习“二次函数”就能够得到较大提高。

综上所述，初中数学的“二次函数”教学在新大纲、新课标的前提下，要转变过去陈旧的数学教学方法，以新的符合教学实际的教学方法进行教学。“循序渐进、打好基础、强化理解”是最基础的方法；结合函数图形进行“二次函数”的教学是提高教学水平的根本途径；培养学生学习函数的兴趣，提高学习积极性，是最大限度发挥学生学习能力，提高学习成绩的基本要求，更是转变教学方法，全面推崇素质教育的基本途径。在新的时期，数学教学必须更新观念，做到与时俱进，开拓与创新，时刻用新方法和新理论来进行教学，开拓数学新途径，提高学生思维和创新能力，为国家培养更多优秀人才。