三角函数值规律篇(1)

关键词：高中数学；三角函数；体会

在高中三角函数的学习过程中有许多难点，但是通过仔细研究和学习，不难发现其中存在很多规律和技巧，掌握了这些规律和技巧，对牢固掌握三角函数有很大的帮助，能更好地解决学习过程中遇到的难题。

1.在三角函数解题过程中要对已知条件进行分析，明确不同变量间的关系，通过关系互化使题目由繁到简，解题思路更加清晰。如例1所示。

2.在三角函数中类似求定义域相关的题型，需要考虑到题目中所涉及的三角函数的周期规律，可以利用三角函数绘图的方法，对最终的结果进行全面的考虑分析。如例2所示：

【例2】 求函数y=的定义域。

分析：首先要确定本题为典型的确定三角函数定义域类问题，在解题过程中应根据题目所给的已知条件一步一步求解问题，切记不能丢解、漏解，这是我们在解答此类题型时必须考虑的方面。

根据题意可以判断2sinx+1≥0，可以求解出x值的区间，这是将已知条件应用于被求对象中的过程，再据正弦函数本身周期性规律，可以进一步提升解题准确性。解题步骤如下：

解：由已知条件我们可以得出2sinx+1≥0，从而可解sinx≥-，我们可以先求解出在一周期内的区间[-，]，由于正弦函数的周期性，我们要在所求区间加上2kπ（k∈Z）即可，所以本题的最终答案为[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）。

可见，在高中三角函数解题过程中，要将三角函数数值与图形之间建立密切的关系，通过图形判断三角函数的正负，然后结合规律进行解题。

3.关于“托底”方法的应用

在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，常用在需把含tgα（或ctgα）与含sinα（或cosα）的式子互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下：

【例3】 已知：tgα=3，求的值。

分析：由于tgα=，带有分母cosα，因此，可把原式分子、分母各项除以cosα，造出tgα，即托出底：cosα。

解：由于tgα=3?α≠kπ+?cosα≠0

故，原式====0

综上所述，三角函数虽然题型并不相同，但在解题中运用三角函数的解题规律和技巧，对典型题进行总结和分析，掌握三角函数内容也不是难事。

参考文献：

[1]刘博，郑利双.高中数学三角函数的W习心得[J].高考（综合版），2015（12）：231.

三角函数值规律篇(2)

关键词：结构分析法;数学;教法;学法;运用

中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1005-1422（2015）02-0064-03

收稿日期：2015-01-20

作者简介：陈海滨（1967-），男，广东省梅州农业学校讲师，大学本科。研究方向：数学教育。（广东 梅州/514011）

在数学的教学活动中，教师往往侧重于“教法”的积极探索而忽视对学生的“学法”的研究指导，造成整个教学过程脱节。于是，出现一个怪现象：课上教师尽所能、展才智充分调动学生积极性、激发学习兴趣，学生听得懂，叫好，而课后学生复习、练习、作业、考试时又感到不理解、不会做、考不好，叫苦，只开花不结果。那么怎样才能使“教法”寓于“学法”，“学法”源于“教法”，将二者有机地结合起来，既开花又结果呢？这就要求教师要从不同的角度全方位地进行教学设计。笔者认为，教师是导演――统揽全局，也是演员――把握精辟，还是观众――期待效果。从教师的角度“导”出“教法”;从学生的角度“演”出“学法”;从家长的角度“观”出效果。正是本着这样的理念，经过多年的教学积累探索出一种教与学的通用之法――结构分析法。经过多年的实践检验表明，此法特别适合代数教学。本文就以代数教学为例进行阐述。

所谓的“结构分析法”就是依据数学的换元思想，通过观察分析数学概念、公式、法则等数学知识结构形式的特点，对其结构形式进行分解――确定“可变”与“不变”两个部分，用中括号[ ]代替“可变部分”找出规律，揭示出其本质特征，从而深刻地理解其内涵，灵活地掌握和运用数学知识解决问题，提高教学效率的一种方法。

一、结构分析法在数学“教”的过程中的运用

（一）在数学概念教学方面的运用

例1.“函数概念”的教学分析。

函数是数学中十分重要的概念，是数学各个分支理论的重要基础之一，在各个领域都有着广泛的应用。由此可见，深刻地理解函数概念是至关重要的。然而，学生普遍感到较难理解“函数概念”，尤其是对用抽象符号：“y=f（x）”表示函数的理解感到一头雾水。现在就从这里入手，运用“结构分析法”进行分析。

观察，函数y=f（x）的结构形式进行如下分析：

这样，学生容易片面地理解函数的概念：误认为x就是自变量，y就是因变量，而解析式表示的就是函数。缺乏对函数概念的深层次地理解，导致在学习过程中遇到有关函数问题时，就问题多多。

现在，我们对上述结构形式进行分解，确定“可变”部分为x和y所在的位置，余者不变。用中括号[ ]代替“可变”部分――x和y所在的位置，就不难发现对于一个确定的函数，无论是具体的还是抽象的都可以理解如下：

显然，在函数的构成要素中，最重要的是函数的定义域和对应法则，最难理解的就是“对应法则”（不变部分）。事实上，对于一个确定的函数其对应法则是不变的、抽象的。

现在，通过几个例子加以说明如何运用结构分析法揭示出对应法则的本质特征。

例如，二次函数f（x）=3x2+2x+1的对应法则f的本质特征是：f[ ]=3×[ ]2+2×[ ]+1

函数值：当x=2时，有f（2）=3×22+2×2+1=17

当x=t时，有f（t）=3×t2+2×t+1=3t2+2t+1

对应法则f：[ ]内取2，则有f[2]=3×[2]2+2×[2]+1=3×22+2×2+1=17

[ ]内取t，则有f[t]=3×[t]2+2×[t]+1=3×t2+2×t+1=3t2+2t+1

显然，f（2）=f[2]，f（t）=f[t]

再如，复合函数g（x）=lg（3 x2+2x）的对应法则g的本质特征是：g[ ]=lg（3×[ ]2+2×[ ]）

函数值：当x =2时，有g（2）=lg（3×22+2×2）=4lg2

当x=t时，有g（t）=lg（3×t2+2×t）= lg（3t2+2t）

对应法则g：[ ]内取2，则有g[2]=lg（3×[2]2+2×[2]）=lg（3×22+2×2）=4lg2

[ ]内取t，则有g[t]=lg（3×[t]2+2×[t]）= lg（3×t2+2×t）= lg（3t2+2t）

显然，g（2）= g[ 2 ]， g（t）= g[t]

这就说明了对应法则的本质是理解时抽象而运用时又具体的一种对应关系。学生就容易理解函数f（t）=3t2+2t+1与函数f（x）=3x2+2x+1是同一个函数;函数g（x）=lg（3x2+2x）与函数g（t）=lg（3t2+2t）也是同一个函数。自然认同x、y只是一个记号，习惯用之而已。从而更加容易理解“每一个函数都有其对应法则，并且每一个自变量的取值按其对应法则都有唯一的因变量的值与之对应”的内涵。这样，使学生通过“抽象――具体――抽象”的认识过程，进而深刻地理解函数概念的内涵。

像幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及其复合函数，还有抽象函数等函数概念都可以运用“结构分析法”进行数学概念教学，使学生更加容易把握数学概念的本质特征，提高教学效果。

（二）在数学公式教学方面的运用

例2.三角函数中“诱导公式”的教学分析。

常用的诱导公式有9组36个公式，若要求学生死记硬背难度大且用时易错，用“结构分析法”教学，可以概括出“口诀”，易记、好用、准确。

诱导公式中角的形式有9种：“2kπ±α（k∈Z），π±α，0-α，π2±α，3π2±α”。 观察分析这9种角的结构形式发现：“2kπ，π，0”角的终边都在横轴上;“π2，3π2”角的终边都在纵轴上。

（因篇幅所限，选几组加以分析）

sin（π±α）=sinα

cos（π±α）==cosα

tan（π±α）=±tanα

cot（π±α）=±cotα公式（一）

可变部分“±”， 余者不变

sin（3π2±α）==cosα

cos（3π2±α）=±sinα

tan（3π2±α）=cotα

cot（3π2±α）=tanα

公式（二）

可变部分“±”、“名称”， 余者不变

sin（π±α）=[ ]sinα

cos（π±α）=[ ]cosα

tan（π±α）=[ ]tanα

cot（π±α）=[ ]cotα

sin（3π2±α）=[ ][ ]α

cos（3π2±α）=[ ][ ]α

tan（3π2±α）=[ ][ ]α

cot（3π2±α）=[ ][ ]α

首先，确定函数“名称”的变化规律。

观察分析公式（一）、公式（二）两边的函数名称发现：公式（一）名称不变，且π角的终边在横轴上，公式（二）名称改变，且3π2角的终边在纵轴上，由此概括出函数“名称”的变化规律：“纵变横不变”。

其次，确定“±” 符号变化规律。

观察分析公式（一）、公式（二）两边的函数值符号发现：等式左边的函数值符号都是正的，而等式右边的函数值符号是变化的，若把α看成是锐角时就会发现：由“π±α，3π2±α”角的终边所在的象限确定的函数值符号排布规律与右边函数值符号排布规律一致，这说明右边的函数值“符号”是由左边的“π±α，3π2±α”角的终边所在的“象限”确定的函数值符号排布规律决定的。由此可以概括出符号变化规律：“符号看象限”。

这样，可以得到诱导公式的口诀为：“纵变横不变，符号看象限”。

例3.三角函数中“二倍角公式”的教学分析。

许多数学公式在理解和运用时，学生常常忽视它们内在成立的“条件”或者运用的“条件”，而片面地理解数学公式，导致用时易错、缺乏灵活性。若用“结构分析法”教学，则可以使学生深刻理解公式的内涵，提高灵活运用的能力。

以“二倍角公式”的教学为例进行分析：

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos2α-sin2α

=1-2sin2α

=2cos2α-1

tan2α=2tanα1-tan2α

可变部分“2α，α”

sin[ ]=2sin[ ]cos[ ]

cos[ ]=cos2[ ]-sin2[ ]

=1-2sin2[ ]

=2cos2[ ]-1

tan[ ]=2tan[ ]1-tan2[ ]

观察分析上述公式的结构形式发现“可变部分”是2α，α，余者“不变”，从而揭示出公式成立的“条件”：左边角的“形式”是右边角的“形式”的二倍，公式成立，反之亦然。于是，可以得到许多常用的结论：

如：sinα=2sinα2cosα2sinα2cosα2=12sinα;

sin2α=1-cos2α2 （降幂扩角公式）;

sinα2=±1-cosα2 （半角公式）

等等，这些在求三角函数的周期、最值等问题时常用。

由此看来，运用“结构分析法”进行数学公式教学，更加容易抓住数学公式的本质特征。若能概括出“口诀”，揭示出“条件”，就会使学生对数学公式的深刻理解和灵活掌握得到很大程度的提高，从而提高教学效果。

二、结构分析法在数学“学”的过程中的运用

（一） 触类旁通，掌握新知识

1.引导学生学会概括数学公式（法则）的“口诀”，提高记忆效果和学习效率。

例4.引导概括：三角函数中“加法定理”的口诀。

sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ

cos（α±β）=cosαcosβsinαsinβ

tan（α±β）=tanα±tanβ1tanαtanβ

引导学生类似“诱导公式”的分析方法，观察分析上述公式的结构形式，发现角的排布规律明显――先α后β。

首先，观察分析上述公式的三角函数名称的排布规律发现：正弦、余弦名称“改变”，正切名称“不变”。由此可以概括为：“弦变切不变”。弦变之意为：“正弦正在先，名称交替出现;余弦余在前、名称重复出现”。

其次，观察分析上述公式的“±”号的排列规律发现：正弦左右一致;余弦左右相反;正切分子一致，分母相反。由此可以概括为：“符号有顺逆”。顺逆之意为：“弦正顺余逆;切上顺下逆”。

因此，可以得到加法定理“口诀”为：“弦变切不变，符号有顺逆”。

这样，就抓住了数学公式的本质特征，在理解掌握数学公式时就会感到：易记、好用、准确、高效。

2.引导学生学会揭示数学公式（法则）的“条件”，提高理解运用的准确性和灵活性。

例5.引导学生学会揭示重要极限limx∞1+1xx=e的“条件”。

引导学生类似“二倍角公式”的分析方法，观察分析上述公式的结构形式发现：“可变部分”是1x与x，且成倒数关系，余者“不变”。即limx∞1+[ ][ ]=e，于是，公式成立的“条件”是：小括号内的[ ]与小括号外的[ ]的结构形式成倒数关系且与x有关，当x∞时，小括号外的[ ]∞，公式成立。

再如，limx0sinxx=1limx0sin[ ][ ]=1。成立的“条件”是：[ ]内的结构形式一致且与有关，当x0时，[ ]0，公式成立。

这样，在运用数学公式时，就能准确、灵活、快速地解决问题。

（二） 举一反三，解决新问题

学以致用，举几个例子看一下由“结构分析法”得出的结果在数学解题中的应用。

例6.已知函数f（x）=x2+2，g（x）=2x+1，求f（g（x2））

解：g（x2）=2x2+1， g[]=2×[]+1 （对应法则g）

f（g（x2））=（g（x2））2+2，f[]=[]2+2（对应法则f ）

=（2x2+1）2+2

=4x4+4x2+3

例7.求函数y=sin（kx-π6）sin（kx+π3），k≠0的最小正周期。

解：y=sin（kx-π6）sinπ2+（kπ-π6）

=sin（kx-π6）cos（kx-π6） 纵变横不变，符号看象限（诱导公式口诀）

=12sin（2kπ-π3）

左边角是右边角的一半，二倍角公式成立（条件）

最小正周期为：T=π|k|

例8.求limx∞2x+32x+1（x+1）

解：原式=limx∞1+22x+1x+12 +12

=limx∞1+1x+12x+121+1x+1212

=e・1=e 1x+12与x+12成倒数关系，公式成立（条件）

综上所述，“结构分析法”在整个教学活动中，体现了二法合一的内在统一性。一法二用，不仅能使学生易于接受“教法”，理解知识，听得明白，又能使学生利于掌握“学法”，学会思考，解决问题，还能使学生对数学概念、公式、法则等数学知识的深刻理解和灵活掌握得到很大程度的提高。从而能灵活多变地快速解决问题，提高学习效率，达到“授之以渔”的教学目的。

参考文献：

三角函数值规律篇(3)

2. 一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下表所示：

则样本在（10，50］上的频率为.

3． 古代“五行”学说认为：物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.现将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A出现的概率是

（结果用数值表示）.

4. 给出下列四个命题：

①函数f（x）＝x｜x｜+bx+c为奇函数的充要条件是c＝0；

②函数y＝2-x（x＞0）的反函数是y＝-log 2 x（0＜x＜1）；

③若函数f（x）＝lg（x2+ax-a）的值域为R，则a＜-4或a＞0；

④若函数y＝f（x-1）是偶函数，则函数y＝f（x）的图像关于直线x＝0对称．

其中所有正确命题的序号是.

5. 已知sinθ＝　，cosθ＝　，　＜θ＜π，则tan　=.

6． 设函数f（x）=　为奇函数，则a＝．

7． 如图1所示，在ABC中，点O是BC的中点，过O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若　＝m　，　＝n　，则m+n的值为.

8. 直线l过抛物线y2＝a（x+1）（a＞0）的焦点，并且与x轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a＝.

9. 已知f（x）=　，g（x）=　，则f（1）g（3）+g（1）f（3）-g（4）=

，f（3）g（2）+g（3）f（2）-g（5）=.由此概括出关于函数f（x）和g（x）的一个等式，使上面的两个等式是你写出的等式的特例，这个等式是.

10． 若数列｛an｝的通项公式an＝　，记f（n）＝2（1-a1）（1-a2）・…・（1-an），试推测出f（n）＝.

11. 在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成的如图2（a）所示的六边形（图中圆圈表示珠宝），第三件首饰如图2（b）所示，第四件首饰如图2（c）所示，第五件首饰如图2（d）所示.以后每件首饰都在前一件的基础上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，构成更大的六边形.依此推断第6件首饰上应有

颗珠宝，第n件首饰所用的珠宝数为.

12. 已知函数f（x）＝ax3+bx+4（x∈R），若f（-2）＝5，则f（2）＝.

13． 若a=1，b=2，a（a-b），则向量a与b的夹角为.

14. 若曲线y2＝x+1与直线y＝kx+b没有公共点，则k，b分别应满足的条件是.

15． 已知x，y满足x-y≤1，2x+y≤4x≥1；，则函数z＝x+3y的最大值是.

16. 对a，b∈R，记max｛a，b｝＝a（a≥b），b（a＜b）；则函数f（x）＝max｛x+1，x-2｝（x∈R）的最小值是.

17． 在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上的任意一点到角两边的距离之比为定值.类比上述性质，请叙述在立体几何中相应的特性（不必证明）.类比性质叙述如下：.

18. 在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB与AC垂直，则AB2+AC 2＝BC 2”.拓展到空间，类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出正确的结论是“设三棱锥A-BCD的三个侧面 ABC，ACD，ADB两两互相垂直，则 .”

【参考答案】

1． 2 （直接展开计算）

2． 　 （直接计算）

3． 　 （直接计算：把“金、木、土、水、火”依次编号为1,2，3,4，5进行排序，排法总数为　＝120种，满足条件的排序为

＝10种，可得事件A出现的概率是　）

4． ①②③ （特征分析：对于④，函数y＝f（x-1）是偶函数，则其图像关于直线x＝0对称．由于函数y＝f（x）的图像可以由函数y＝f（x-1）的图像向左平移1个单位得到，所以函数y＝f（x）的图像关于直线x＝-1对称）

5． 5 （特征分析：利用sin2θ+cos2θ=1的特征，将条件代入可求得m=0或m=8， cosθ=　（舍去）或cosθ=-　， tan　=　=5）

6． -1 （取特殊值： f（1） +f（-1）=0， 2（1+a）+0＝0，即a＝-1）

7． 2 （取特殊位置：令点M与点B重合，点N与点C重合，则m＝n＝1，故m+n＝2）

8． 4 （取特殊函数：抛物线y2＝a（x+1）与抛物线y2＝ax具有相同通径长，故可用标准方程y2＝ax替换一般方程y2＝a（x+1）求解，故由通径长公式得a＝4）

9． 0，0， f（m）g（n）+g（n）f（m）-g（m+n）＝0 （计算后发现规律）

10． 　 （发现规律：计算得f（1）＝　，f（2）＝　，f（3）＝　，…，推测f（n）＝　）

11． 66，2n2-n （发现规律：记第n件首饰的珠宝数为an.由a1＝1，a2＝a1+5，a3＝a2+5+4，a4＝a3+5+2×4，a5＝a4+5+3×4，…，得an＝an-1+5+（n-2）×4，即an-an-1＝4n-3，易得an＝2n2-n）

12． 3 （构造新模型：令g（x）＝ax3+bx，则f（x）＝g（x）+4.易知g（x）为奇函数，则 f（-2）＝g（-2）+4＝-g（2）+4＝5， g（2）=-1， f（2）=g（2）+4=-1+4=3）

13． 　 （构造新模型：根据a（a-b）构造直角三角形，b对应斜边，a与a-b 对应直角边）

14． k＝0，b∈（-1，1） （数形结合：作函数y2＝x+1＝x+1（x≥0），-x+1（x＜0）的图像（见图3），得k＝0，b∈（-1，1））

15． 7 （数形结合：根据条件画出可行域，可知当直线过点（1，2）时，zmax＝1+6＝7 ）

16． 　（数形结合：作出函数f（x）＝max｛x+1，x-2｝（x∈R）的图像（见图4实线部分），从图像上观察可得，在x＝　处取得最小值　）

17． （答案不唯一，下列答案中任一皆可）从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角的两个面的距离之比为定值；或从二面角的棱上一点出发的一条射线上任意一点到二面角的两个面的距离之比为定值；或在空间，从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值；或在空间，射线OD上任意一点P到任意射线OA，OB，OC的距离之比为定值；或在空间，射线OD上任意一点P到任意平面AOB，BOC，COA的距离之比为定值. （类比转化）

三角函数值规律篇(4)

因此，还有一种想法是在函数概念下以“圆心在原点的圆周上的点的坐标”随角的变化而变化的“操作、观察”，先让学生建立起“任意给定一个角α，圆周上就有唯一的一个点P（x，y）与之对应”的直观感受，把注意力集中在三角函数的“函数特性”上，能使学生认清其对应关系、定义域和值域等，从而真正把握三角函数的“本来面目”.是否可以在“函数是描述客观世界变化规律的数学模型”的思想指导下，以“如何建立圆周运动的数学模型”为教学起点，调动象限角、弧度制、单位圆、锐角三角函数等相关知识，在建立函数模型的过程中水到渠成地引入任意角三角函数的概念.这样，既可以使学生知道这一概念的背景、解决的问题，也可以使他们感受运用函数概念建立模型的过程和方法，还可以让他们体会三角函数在物理学科中的重要性.如果这样的设计思想能够实现，那么其效果是一举多得的.以下为笔者在教学实践中对任意角的三角函数定义引入的微课设计.

一、教材分析

三角函数是函数的一个基本组成部分，也是一个重要组成部分，在整个高中以至于大学都会经常用到三角函数的知识.初中已经学习过锐角的三角函数，教材第一节学习了任意角的表示方法，这些是学习任意角三角函数的基础.本节课的主要内容是：正弦、余弦、正切的定义；正弦、余弦、正切函数的定义域.

二、教学目标

理解任意角的三角函数的定义.

三、重点，难点

1.重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义；

2.难点：任意角的三角函数概念的建构过程；

四、教学情景设计

1.引 入

我们初中已经学习了锐角三角函数，知道它是以锐角为自变量，

以比值为函数值的函数，那么高中为什么还要继续研究呢？

实例导入：“离离原上草，一岁一枯荣.野火烧不尽，春风吹又生.”（王安石诗）.诗中描绘的是自然界中“按一定规律周而复始”的现象，称之为“周期现象.”我们曾学习过用“指数函数”模型刻画人口增长问题，用“对数函数”的模型刻画地震的震级变化，用怎样的数学模型来刻画周期现象呢？“周期现象一般与周期运动有关”，一个简单而基本的例子便是“圆周上的一点旋转运动”.

2.探 究

情境――选择数学模型.

问题：摩天轮的中心离地面高度为h0，它的直径为2r，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置点A 出发（如图1所示）.

求人相对于地面的高度h与时间t的函数关系式.

先从一个具体情境入手，例如过了30秒后，你离地面的高度如何计算？答：h=h0+rsin30°=h+MP.

再计算几个：60秒时.答：h=h0+rsin60°.

90秒时.答：h=h0+rsin90°.

一般的，过了t秒呢？猜想（愿望）：

答：ht=h0+rsint0.

“这样的想法合情，但合理吗？”

（意图：先从几个特殊情形出发，而后猜测一般性结论，再进行合理性论证！）

总结：人距离地面的高度h=h0+MP，其中h0是不变量，MP表示点P 到水平位置OA的距离，是变量；可以通过点P旋转的角度∠POA的大小，再结合初中锐角三角函数来计算.

3.分析数学模型

问题：对任意角∠POA；sin∠POA该如何定义？对前面这个问题往下具体分析：

当时间为t秒时，人距离地面的高度用h=h0±MP来表示，其中MP 表示点P到水平位置OA的距离.

对比：h=h0±MP与ht=h0+rsint0.

愿望：要想两者和谐统一.

必须有：rsint0=±MP即：sint0=±MP/r.

小结：点P在圆周上旋转运动，引起∠POA的变化，对任意一个确定的∠POA对应着唯一点P，进而有唯一的MP，得到sin∠POA=±MP/r①.

提问一：①式的分子何时取正值，何时取负值？

答：OA上方为正，OA下方为负.

提问二：根据①式这些特点，用怎样的一个量来替代MP或-MP，可以使上面的表示更简洁？

答：建直角坐标系，利用P的纵坐标替代MP或-MP.

4.建构三角函数的定义

任意的角的正弦一种定义方法.

（1）把α“放到直角坐标系内”.

（2）以原点为圆心，半径r 作圆，

又与α的终边相交于点P 坐标为（x，y）.

（3）规定：sinα=yr.

5.分析：以上规定是否合理？

问题一：当α为锐角时，此规定与初中定义矛盾吗？

结论：不矛盾，而且坐标法的引入摆脱了锐角的束缚.

问题二：圆的半径r大小有限定吗？

结论：根据相似三角形的知识，对于确定的角α，这个比值不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变，是唯一确定的.

问题三：半径r取多少时，会使得比值更加简洁？

结论：可以考虑取r=1，这样的圆我们称单位圆.

即：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度1为半径的圆.

（意图：可以打破知识结构的平衡，感受到学习新知识的必要性――角的范围扩大了，锐角三角函数也应该“与时俱进”，并不显得突然.把定义的主动权交给学生，引导学生参与定义过程发展思维.）

6.导出任意角的三角函数定义

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么，

y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y；

x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；

yx叫做α的正切，记作tanα，即tanα=yxx≠0.

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.

7.归纳总结，注重渗透

本节课通过对实际问题的解决，学习了任意三角函数的概念.请同学们简要回顾探究过程.三角函数的定义可谓“看似平凡最崎岖.成如容易却艰辛.”（王安石诗）.早期的三角学隶属于天文学，为了天文观测的需要，与古希腊几何有不可分割的联系.尽管三角知识起源较早，但在欧拉以前，人们对三角函数的研究大都在一个半径不定的圆内进行的，运用起来很不方便.直到欧拉时代，才令圆的半径为1，置角于单位圆中，把三角函数定义为相应的线段与圆半径1之比.教材中现在的定义与历史上大数学家欧拉的定义是一致的.欧拉用直角坐标来定义三角函数，彻底解决了三角函数在四个象限中的符号问题，使三角函数成为研究现实世界中周期变化现象的“最有表现力的函数”.

（设计意图：对教学内容进行归纳、疏理、提升.有意加强数学文化的熏陶，让学生在数学学习中寻求数学发展的历史轨迹，感受数学家们严谨治学和锲而不舍的探索创新精神，从而提升自身的文化素养和创新意识.）

【参考文献】

三角函数值规律篇(5)

一、掌握内容变化是备考的重点

新增部分高考比例远远高于保留内容，删除的部分肯定不考，同时提高要求和降低要求部分高考也有相应较大变化.

新增部分有幂函数、函数零点与方程根、二分法求方程根思想、三视图、算法初步、统计、茎叶图、、函数模型及其应用、线性回归方程、独立性检验、统计案例 、古典概型与几何概型、全称量词与存在量词、导数及其应用、函数的导数公式、推理证明、坐标系与参数方程、复数、平面几何证明，不等式证明.

提高要求部分有Venn图的应用、分段函数的应用、函数模型及其应用、加强了与函数与方程的联系、线性规划与非线性规划问题及应用、等差数列与一次函数的关系、等比数列与指数函数的关系、利用函数及导数解决现实生活中优化问题、直线、双曲线、抛物线参数方程.

降低要求部分有反函数只要求用具体举例解释定义，不要求给出一般定义和求反函数；不要求求椭圆双曲线准线方程、只要求认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，对性质不作要求.

删减部分有两条直线的夹角和到角公式、由三角函数值求角、线段的定比分点、平移公式.无理不等式、计数原理、排列组合、二项式定理及其性质.

二、摸清考题的分布是备考的方向

几乎年年必考知识有集合运算、三视图、程序框图、复数运算、线性规划、导数意义求切线、三角变换求值（不考求角）、向量运算、圆锥曲线定义离心率等，以小题为主；立体几何以柱锥为载体考查证明平行、垂直和求距离、角、体积、面积等；求导函数主要考查单调性、极值、最值、参数值和范围、不等式证明等；圆与直线或圆锥曲线与直线；概率统计与函数；数列或解三角形应用或三角函数，以大题为主.

函数零点与二分法、特称全称命题、命题真假、四种命题、充要条件、解不等式、古典几何概型、函数变换、线面垂直平行偶尔考；多面体与球为高考热点.

三、了解考题的规律是考好的关键

三角函数值规律篇(6)

关键词: 苏教版小学数学教材 函数思想 呈现方式

在新课程改革的背景下,《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中提出一些重要的数学概念与数学思想方法应根据学生的心理特征、知识背景和所学知识的特点循序渐进、螺旋上升。函数思想作为贯穿中小学数学的一个重要思想,虽然在小学阶段并没有出现函数概念,但苏教版小学数学教材中的很多内容都渗透了函数思想。教材中所蕴含的函数思想主要体现在:对应关系、数列和图形的排列规律、运算性质和计算公式、用字母表示数、正反比例、统计图表这些知识板块中,在这些知识的呈现方式上随着年级的增高抽象化程度逐步增强。

1.对应关系

变化和对应的思想是函数思想的本质,低年级渗透的对应思想主要借助实物等一些具体的模型,使学生直观地感受对应关系,中高年级渗透的对应思想主要是抽象的数与数之间的对应。

如:一年级:数一数,名数与常数之间的一一对应,认数,借助实物将同样多的部分建立一一对应关系,让学生体验大于或小于;借助小棒建立不同计数单位之间的对应关系,让学生领悟十个一是一个十。二年级:认识乘法,由一个加法算式对应两道乘法算式。三年级:24时计时法与普通计时法一一对应,轴对称图像上的点关于对称轴一一对应。四年级:在折线统计图中数据与统计图中的点一一对应。五年级:点的位置和它的坐标一一对应。在表现形式上,既有以图解的形式体现对应关系,使学生直观的体验到“像”与“原像”之间的“一一对应”;又有以数轴的形式体现对应关系,使学生感受到越靠近右端数越大。

2.图形(数)的排列规律

“探索规律”是新课程小学数学教材“数与代数”领域内容的一部分,《标准》把“探索规律”作为渗透函数思想的一个重要方面,“探索规律”实际上就是培养学生的“模式化”思想,发现规律就是发现一个“模式”。

如在一、二年级:各种图形按照边数的变化、周期性的排列,按照颜色变化规律的排列,一年级下册:百数表中的规律,在百数表中除了可以探索数的排列规律(横着、竖着、斜着)外,还可以进一步探索每一行中相邻的两个数的规律、每一列中相邻两个数的规律,甚至每两行与每两列相邻四个数之间的规律,这些规律中蕴含着多种变化的模式。各册教材中出现的找规律填数,也能让学生体会简单数列排列的规律,而数列的本质就是定义域在自然数集上的函数。

3.运算性质

在小学数学中,运算是主要的内容之一,各种运算性质中都渗透了函数思想。低年级主要借助计算表让学生发现加法、减法、乘法口诀中的规律。高年级让学生自己探索小数乘除法的运算规律。

如:一年级上册,10以内的加法表,竖着看,学生可以发现在一个加数不变的条件下,和与另一个加数的变化是有规律的;横着看可以发现,在和不变的条件下,另两个加数都变,而且变化也是有规律的。二年级上册,在乘法口诀的学习中就自然而然地对“乘法中的运算规律”进行了探索,乘法口诀的学习是一串一串的,学生很容易就发现“一个因数不变,积随着另一个因数的变化而变化”的规律。五年级上册,在小数乘法的学习中,学生从另一个角度领悟乘法运算中的规律,即“一个因数不变时,另一个因数大于1时,积大于这个因数;另一个因数小于1,积小于这个因数;另一个数越接近1,积就越接近这个因数。”小数除法的学习中,学生不仅可以发现“除数小于1(且大于0),商会大于被除数;除数大于1,商小于被除数;除数越接近1,商越接近被除数”的规律,而且会体会到,当被除数不变时,除数缩小n倍,商反而扩大n倍;当除数不变时,被除数缩小n倍,商也缩小n倍。

4.计算公式

学生从三年级既学习长、正方形的周长公式开始,又学习了长、正方形面积公式;平行四边形、三角形、梯形面积公式;长、正方体表面积和体积公式;圆的面积周长公式;圆柱的表面积体积公式;圆锥的体积公式。这些图形的周长、面积和体积公式实质上都是用解析式表示的变量之间的函数关系式,如圆的周长是半径的一次函数C=2πr,圆面积则是半径的二次函数S=πr2,长方形的周长和面积都是长与宽的二元函数。另外,在解决实际问题中出现的一些数量关系:如单价×数量=总价;在单价不变的情况下,总价是数量的一次函数,这些计算公式给了学生对多元函数自变量与因变量之间关系的感受。

5.用字母表示数

变与不变是函数思想的重要内涵,也是用字母表示数的价值所在,在例1中,当揭示摆a个三角形需用小棒的根数是a×3后,教师可以问:在a×3这个式子中,谁在变化、谁没有变?三角形的个数还可以用什么字母来表示?还可以用什么样的算式表示小棒根数?让学生体会同一个数量可以用不同的字母来表示。通过对例1和例2的比较,学生能感受同一字母在不同的情景中可以表示不同的数。在想想做做第三题中可以让学生体会:在同一题中不同的数要用不同的字母表示,经过这三个环节的教学,在变与不变中渗透函数思想,体现用字母表示数的价值,为学生的进一步学习打好基础。

6.统计图表

统计图直观地反映了数量的变化趋势,折线统计图在刻画连续量时,比条形统计图更全面、更直观地反映了数量的整体性和变化性,因此折线统计图可以看做是一种函数表达式是分段函数的特定的函数图像。折线统计图不仅可以反映数量增加的变化,可以通过折线的下降倾斜程度反映数量减少的变化,四年级教材中呈现的折线统计图,让学生对气温变化的情况变得直观形象;教师也可以布置让学生利用温度计,从6∶30―18∶30每隔两小时记录一次温度,并绘制成折线统计图的作业,让学生在操作的过程中体会数量的增减变化。

7.正反比例

正比例和反比例关系是最常见和最基本的函数关系,因此正比例和反比例是渗透函数思想的重要内容,教材首先借助表格让学生初步感知两种相关联的量和成正比例的量的含义,然后用字母表示数量,每个实例里都有两个相关联的量,分别是路程和时间或者总价与数量,两个量的比的比值分别是速度和单价,用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的比值,然后把路程/时间=速度(一定)、总价/数量=单价(一定)表示成y/x=k(一定),并指出正比例关系可以用这个字母式子表示,最后用图像直观表达正比例关系。例2是按照《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的要求“根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图,并根据其中一个量的值估计另一个量的值”编排的,虽然图像与真正的函数图像有一些差别,如只有第一象限的图像,横轴与纵轴的单位长度不统一,但学生仍可以初步感受到成正比例的两个量的变化是连续的,因此这些并不影响学生借助图像体验变量间的关系。反比例的教学首先也是以表格的形式呈现,并用语言描述,然后用解析式表示,最后用图像表达,综合运用函数的四种表示方法,使学生对函数有了更深入的了解。

小学数学中渗透的函数内容注重对函数思想的多角度理解,在第一学段,主要是以图像、表格的形式渗透函数思想,在第二学段,学生掌握了长方形,平行四边形等图形的计算公式,掌握了一些解决实际问题的数量关系,这些计算公式实际上就是一些简单的函数解析式。到了六年级,正、反比例的意义是渗透函数思想的重要内容,教材首先借助表格直观地呈现两个变量之间的对应关系,接着用语言解释其含义,最后用代数式来表示,使得直观图形―代数式―语言描述三者之间有机结合,使学生对函数有了一个系统地认识。总之,函数思想的渗透是随着学生已有知识经验的积累、能力的提高逐步加深的。

《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》在总目标中提出:获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识(包括数学事实、数学活动经验)以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。因此在小学阶段渗透函数思想,是实现义务教育数学课程总体目标的需要,但由于函数的抽象性与小学生思维发展的直观性之间的矛盾,教师在教学中应抓好契机,把握渗透的可行性,根据知识的内在联系与迁移规律,从联系、发展的角度分析与处理教材,做一些有利于知识衔接的渗透,主要是让学生体验函数思想,而不宜提出过高的要求。

三角函数值规律篇(7)

1、简单、清楚，突出三角函数最重要的性质──周期性．采用"单位圆定义法"，对于任意角?，它的终边与单位圆交点P(x，y)唯一确定，这样，正弦、余弦函数中自变量与函数值之间的对应关系，即角 （弧度）对应于点P的纵坐标y──正弦；角 （弧度）对应于点P的横坐标x──余弦。可以得到非常清楚、明确的表示，而且这种表示也是简单的。另外，"x= cos ?，y= sin ?是单位圆的自然的动态（解析）描述，由此可以想到，正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述"，其中，单位圆上点的坐标随着角?每隔2π（圆周长）而重复出现（点绕圆周一圈而回到原来的位置），非常直观地显示了这两个函数的周期性。

"终边定义法"需要经过"取点──求距离──求比值"等步骤，对应关系不够简洁；"比值"作为三角函数值，其意义（几何含义）不够清晰； "从角的集合到比值的集合"的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的"数集到数集"的对应关系不一致，而且"比值"需要通过运算才能得到，任意一个角所对应的比值的唯一性（即与点的选取无关）也需要证明；"比值"的周期性变化规律也需要经过推理才能得到．以往的教学实践表明，许多学生在结束了三角函数的学习后还对三角函数的对应关系不甚了了，与"终边定义法"的这些问题不无关系。

2、有利于构建任意角的三角函数的知识结构。"单位圆定义法"以单位圆为载体，自变量?与函数值x，y的意义非常直观而具体，单位圆中的三角函数线与定义有了直接联系，从而使我们能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的定义域、值域、函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、周期性、单调性、最大值、最小值等。

在学习弧度制时，学生对引进弧度制的必要性较难理解。

"单位圆定义法"可以启发学生反思：采用弧度制度量角，就是用单位圆的半径来度量角，这时角度和半径长度的单位一致，这样，三角函数就是以实数（弧度数）为自变量，以单位圆上点的坐标（也是实数）为函数值的函数，这就与函数的一般定义一致了。另外，我们还可以这样来理解三角函数中自变量与函数值之间的对应关系：把实数轴想象为一条柔软的细线，原点固定在单位点A（1，0），数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针缠绕在单位圆上，那么数轴上的任意一个实数（点） 被缠绕到单位圆上的点P(cos ，sin )。 转贴于

3、符合三角函数的发展历史。三角函数发展史表明，任意角的三角函数是因研究圆周运动的需要而产生的，数学史上，三角函数曾经被称为"圆函数"。所以，采用"单位圆定义法"能更真实地反映三角函数的发展进程。

早在古希腊时代，人们就知道"相似三角形的对应边成比例"，这是三角函数的根源，也是其本质所在，所以三角函数起源于几何中的边角关系。三角函数的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。到了近代，人们将三角函数作为一般的函数来研究它们的代数性质。现代数学把它们描述成无穷无穷级数或微分方程的解，将其定义扩展到复数系。映射也是贯穿高中数学的一条主线，是人们思考问题时一种非常重要的对应关系。

4、有利于后续学习。前已述及，"单位圆定义法"使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论三角函数的性质和图像奠定了很好的直观基础。不仅如此，这一定义还能为"两角和与差的三角函数"的学习带来方便，因为和（差）角公式实际上是"圆的旋转对称性"的解析表述，和（差）化积公式也是圆的反射对称性的解析表述。另外，这一定义中角的度量直接采用了弧度制，能为微积分的学习带来方便。例如，重要极限 几乎就是定义的一个"推论"。