数学教学内容篇(1)

［关键词］数学史;小数数学;探讨

自新课程改革以来，怎样提高小学数学课堂教学效率成为了一项重要的课题［1］。将数学史巧妙融入课堂教学是学校和教师当前非常关心的问题，因为，将数学史融入数学教学能够促使学生对其产生深刻的印象，有助于学生理解和掌握数学知识，还能够提升学生的数学学习兴趣。

一、数学史融入小学数学课程的重要意义

(一)有助于培养学生的人格

许多数学家都具有优秀的品质，锲而不舍和勤奋刻苦的精神、顽强拼搏的毅力都令人感动。数学家的工作为人类发展做出了贡献，数学定理、概念以及公式都经过科学家的反复思考、大量演算及推理，虽然无数次的考证中也面临着重重困难，他们并没有气馁，而是突破障碍，最终取得了成功。当前舒适的生活条件和美好的生活环境在很大程度上取决于科学家的顽强拼搏与辛勤付出，因此，数学教师有义务将科学知识的产生过程讲授给学生，使学生养成严谨的治学态度和顽强的意志品质。

(二)有助于丰富学生的知识

数学史具有很强的教育功能，将其引入小学数学课堂教学有助于小学生高效地学习数学知识、理解数学发展的大致脉络，使学到的数学知识更加深刻［2］。数学史能够使课堂教学内容更加丰富和生动，激发学生的学习兴趣，使数学知识的学习更加有效。数学史中包括很多趣味性强的故事，比如，教师讲授十进制内容时，可以给学生讲解十个手指的故事;数学史包括数学家的故事;数学史包括趣味游戏，如摆火柴和七巧板拼图;数学史还包括许多历史名题，如四色问题和哥德巴赫猜想。丰富的数学内容能够活跃课堂教学的气氛，有助于学生积极开展数学知识的学习。

(三)有助于培养学生的数学能力

1．使学生具备正确的数学思维和数学方法

思维和方法是数学的精髓。数学史与数学思维和方法有着密切的联系，学生可以从数学史学习中形成一套适合自己的思维和学习方法。日本数学家米山国藏认为:科研工作者需要不断学习数学知识，知识永远无法满足他们的需要，数学思维和方法却能满足他们的需要;数学知识暂时存在于脑海中，数学思维和方法却是长期受用，经过一段时间仍能发挥很大的作用，使人一生受益。引用数学史内容时，教师需要剖析数学家主要的思想和方法，旨在帮助学生形成解决问题的思路和方法。在小学数学课堂教学中，教师需要引导学生在学习和体味知识的同时引入思维方法，使学生在头脑中生成印象深刻的学习思想，促进学生对于知识的有效类比与归纳，实现知识的记忆和有效利用。法国数学家阿玛达认为:学生遇到和解决数学问题的过程与科学家研究和探索数学问题有相似之处，当然差异性更多表现在程度上。学习数学史的过程就是学生尊重数学的过程，学生在数学知识学习中遇到的问题能够映射出数学家在探索过程中遇到的问题。当前的数学教材在编排顺序上存在一些不合理之处，主要是重视数学定义、原理、公式等内容的呈现，却忽略了数学史的内容，使得数学学习的顺序和数学知识的探索过程完全相反，学生难以较好地了解数学家探索问题时的解决思路，导致学生缺乏学习主见，只是被动接受知识。数学史能够使学生了解到数学思维的根源，从不同的角度审视问题，不仅开阔了学生的视野，而且使学生在解决数学问题时成功避开障碍，有效解决问题。

2．有助于培养学生的问题解决能力和创造力

小学数学的教学目的在于帮助学生获得知识，并运用已有知识解决现实生活中存在的问题，培养学生运用已有知识解决实际问题的能力。素质教育的培养目标给教师提出了新的要求，强调学生主观能动性的发挥，尊重学生的人格，培养学生分析与解决问题的能力，实现学生智慧和潜能的开发，促使学生养成健全的人格，培养学生的创新能力，最终提高学生的整体素质。将数学史融入数学课堂教学符合素质教育的需要，具有一定的现实意义。数学史能够培养学生分析与解决问题的能力，帮助学生掌握解决问题的新方法。在学习知识和解决问题的过程中，学生的知识体系也在不断完善，思维能力得到不断的提升，不仅形成了创造性思维，而且培养了创造能力。

二、小学课堂设置数学史的现状

(一)注重激发学生兴趣，忽视数学思维与方法渗透

我国数学史的内容包括多种类型，有数学家解决的数学问题、有针对问题的解决策略、有数学发展史资料，还有数学家在现实生活中遇到的奇特事物。小学数学课堂教学中融入数学史有助于学生对数学知识形成深刻的认识，极大调动了学生的学习兴趣。在教师教育中，课程的设置多以经验为主，以实证研究为决策基础的现象还不多［3］。通常情况下，数学教学只把数学史当成一种辅手段，大多数教师将数学史融入课堂教学只是为了提高学生的学习兴趣，并非为了真正实现学生的全面发展。当前，一些版本的数学教材中已经融入了数学史，以数学知识中的“方程”内容为例，教师可以联系古代方程的求解开展教学。

(二)过于展现“正面历史”，淡化“负面历史”

数学经过漫长的发展过程。事实上，数学教师给学生讲授数学知识时，重点讲述具有积极意义的数学史，通过正面的内容促进学生对数学知识的理解，调动学生的学习兴趣，那些有负面色彩的内容却没能客观地介绍给学生。比如，牛顿和莱布尼为了微积分的发现权争夺得不可开交，从中我们可以了解到数学家也会为了荣誉而不惜一切去争斗，这类知识可以加深学生对微积分知识的印象，数学知识不再是刻板和严肃的符号，而是变得十分生动和有趣，学生才能从中认识到自己的不足，从而不断努力学习和充分实践，最终得出实践是检验真理的唯一标准。

三、小学数学课堂呈现数学史

(一)呈现数学史的真实进程

一些人对于小学生的数学学习发挥着至关重要的作用，包括教材的编写者、教学研究者以及教师。小学数学课堂教学的效果是大家共同努力的结果，需要大家相互配合，一方面，教学内容中数学史知识的选择要有针对性，能够突出数学史的真实性和科学性;另一方面，数学史知识的筛选要有一定的合理性，既有助于学生对数学思想的理解，又能调动学生的学习兴趣，使小学生主动投入数学学习，实现全面发展。由于小学数学教学内容不能完全与数学史知识相匹配，往往存在不同年级和不同数学内容的限制。比如，教师讲授与图形运动有关的内容时，会涉及到小学六年级的内容，包括角的认识、长度及立体图像;另外，三角形等平面图形的知识和图形运动等内容分散在不同年级的教学中。在实际的数学课堂教学过程中，数学教师要将数学内容和数学史很好地融合在一起，目的是为了保证数学教学的客观性和完整性，将数学知识更好地呈现给学生。

(二)将数学史融入教学过程

了解数学史的发展可以更好地挖掘高等数学的文化价值［4］。教师在讲授数学知识之前，可以先介绍相关的数学故事，从而为学生营造一种和谐的教学环境，调动学生的学习主动性，点燃他们对于数学知识的学习热情。另外，教师需要运用多种教学方法将数学知识传授给学生。将数学史渗透进小学数学课堂教学是一个极其复杂的过程，恰当的教学手段能够发挥积极的作用，为此，数学教师需要教会学生不同的学习方法，并引导他们在消化与整合后形成符合个体特点的学习方法，从而加深知识的理解，实现学生能力的真正提高。最后，教师在课堂教学中需要引导学生积极探究数学知识的根源，这不仅是素质教育的要求，也是数学教学的目标。

(三)教材编订形式多样化

目前，我国基础教育阶段普遍使用的教材版本主要有人教版、苏教版、西师版及北师大版，虽然版本不同，却有不少的相似点，包括较少涉及数学史方面的知识。为了解决这个突出的问题，笔者认为可以编写满足小学生发展需要的数学史读本，本着教材多样化的思想，巧妙地将数学史知识融入数学课堂教学中，不仅丰富了学生的数学知识，而且有助于新旧知识的有效整合，还能调动学生的数学学习兴趣，最终提高数学课堂教学的效率。综上所述，当前的小学数学教学中存在一些突出的问题，不利于学生的全面发展，也不能提高课堂教学的质量。因此，本文特别提出引入数学史解决小学数学教学效果不佳的问题。

［参考文献］

［1］张颂军．试分析逻辑性在小学数学课堂教学中的作用［J］．现代妇女(下旬)，2014，(1)．

数学教学内容篇(2)

教参的“教材说明”和“教学建议”中对估算的作用和重要性进行了介绍．如:“作为当今信息社会的成员，对客观世界变化的敏捷反应和对各种信息迅速作出判断的能力是十分重要的．在小学数学中要培养的估计能力正是上述能力的基础之一．”“教师也可以进一步说明估算的作用，在不需要精确计算结果的时候，可以使用估算确定结果的范围;也可以通过估算检验计算的结果是否合理．”这样介绍可以帮助教师对估算有更深入的理解．对估算的理解和培养估算意识是紧密联系的，教师深刻地理解估算，不仅能增强自身的估算意识，而且能够引导学生理解进行估算的原因．学生只有了解了进行估算的原因，才有可能形成估算意识，知道在什么情况下进行估算，怎样选择估算的方法，而不是教师说“让我们来估算一下吧”，学生被动地去估算．我们认为，教参如果再介绍一些教学实践中容易出现的错误观念，如有的教师会告诉学生见了“大约”就估算，混淆估算与四舍五入求近似数等，将会帮助教师避免错误地理解估算．对估算结果的评价没有统一的标准，但也不是没有标准，这容易使教师不知道如何去评价．“它让学生明白，估算时，在什么情况下应估大些，什么情况下应估小些，才能使估算结果既接近准确数又符合实际需求．”教参中对估算结果的评价建议包括两点，一是精确度的要求，一是符合实际情况的要求．

2．教参应促进教师掌握多样化的估算方法

教参中介绍的估算方法是把要估算的数看成整十数或整百数．如:“可简单归纳一下估算的方法:进行三位数的加法估算一般是把加数看作与它们比较接近的整百或几百几十的数，再用口算确定它们和的范围．”“例2是三位数除以一位数的估算，它的一般算法是:除数不变，把三位数看成几百几十的数来计算．”“两位数除法的估算，一般是把两位数看作与它比较接近的整十数，再口算出结果．”显然教参对估算方法的介绍应再多样化些，这样不仅能促进教师对估算方法的学习和讲解，而且更会帮助学生对估算方法的掌握．这样将帮助教师和学生避免机械地使用“四舍五入”取近似数的方法进行估算．教参还可介绍一些常用的、比较重要的估算方法，比如截尾法可能是学生最容易接受的估算方法、适合在除法估算中使用的相容数字法等．可以通过求解一些教材上的练习题来介绍估算的方法．张奠宙教授曾说过:“小学的估算不可能正面谈近似计算，也不宜提精确度．那么应该如何处理呢?我们不可以笼统地、一般地谈估算，只能学习几种具体的估算方法，如四舍五入法、截尾法、进位法等．具体的方法里已经有精确度的要求．”

3．教参应帮助教师理解估算的基本思维过程

数学教学内容篇(3)

关键词　职业教育　课程改革　数学教学内容

近几年，在中央政府的高度重视和推动下，职教热迅速升温。关于职业教育的办学方向，各项改革措施也正在探索、论证中。尤其对职业教育的文化课改革提出了新的要求、新的挑战。本文从职业教育的特点与学生的实际情况出发，提出当前职业教育的数学教学内容改革的观点。

1　职业教育的数学教学内容应展示“数学美”与“趣味性”

数学家雷尼说：“数学还是有趣的和美丽的，是令人兴奋的，是一项美好的人类思想探险活动，我想数学的美不是一种辅助的，附带的事，它是数学的一个基本特征。真理永远是美的，而美的东西也是真的。那些对数学抱有未开化的见解的人不理解这一点，其原因或是他们看不到数学之美，或是虽看到它却又怀疑它”。职业教育下的学生厌学数学，一种原因正如雷尼所说他们看不到数学之美与趣味性。因此他们都在痛苦的学习数学，如何让职业教育下的学生快乐地学习数学?夸美妞斯说过：“兴趣是创造一个欢乐和光明的教学环境的主要途径之一”。要让职业教育下的学生对数学感兴趣、并快乐的学习数学，一个重要条件是数学教学内容本身就要有美感与趣味性。

数学作为自然科学的基础、工程技术的先导、国民经济的工具、其本身就具有许多美与趣味性，它们是形象生动而具体的。数学的简洁性、抽象性、和谐性、奇异性等诸方面均展现着数学自身的美与趣味性。这些一旦让学生觉知、认识、数学便有新的希望与未来，至少可以改变他们对数学固有的偏见：枯燥乏味。把数学中的美与趣味性的现象展示出来，再从美学角度重新认识这不仅是对学生观念的一种启迪，同时可以帮助他们去思维、去探索、去研究、去发掘、去创造。

2　职业教育的数学教学内容应结合专业特点、满足学生发展的实际需求

一直以来我国职业教育受到普通教育的影响，于是造成了职业教育的数学教学，过分着重于数学知识的系统性、完整性的现状。很少与专业知识相结合，导致学生误认为数学与专业没有多大的关系，学了也没有多大的用处。其结果是学生对数学感到枯燥乏味，失去了学习数学的兴趣，教师教得吃力。

要想改变这种现状，职业教育的数学教学内容必须具有职业教育特色；必须与普通教育的数学教学内容设置区分开；必须打破传统观念一味追求知识间的系统性、完整性。确实做到以学生为本、以实际需求为主；遵循为专业学习服务的功能，并以课程模块的形式设置即不同的专业可以根据实际，选择并加强相关内容的教学；必须体现出“实用、够用、能用、现用”。

当然，也不能排斥数学学科的科学性、规律性。根据这些特点，职业教育的数学教学内容需加强与专业课的结合，精选数学知识及思想方法，满足学生发展的实际需求。使其更好的服务于专业课的教学，从而使学生得到更好的发展。

3　职业教育的数学内容应体现实践性、操作性

为贯彻落实《国务院关于大力发展职业教育的决定》和全国职业教育工作会议精神，坚持职业教育“以服务为宗旨，以就业为导向，以技能为核心”的办学方针，为企事业单位输送合格的实用型初中级人才。从中可知，职业教育下的学生必须注重培养学生的动手能力、实践操作技能。职业教育下的学生要在有限的学习时间中提高学生的动手能力、实践操作技能，只靠专业课单一训练是远远不够的，应尽可能的挖掘各基础文化课的实用知识，从不同的角度提高学生的动手能力、逻辑思维能力、实践操作技能，更好服务于专业课，使其在新时期发挥余热。

因此，职业教育的数学教学内容，可精选一些实验性强，学生亲自动手实践操作性强的材料，在有限的学习时间内学习更多的与目标要求密切相关的知识。从而实现了理论知识与实践知识的统一，逐步提高培养学生职业技能的效率。

4　职业教育的数学教学内容应呈现出用数学思想方法解决实际问题的特点

“数学是训练思维能力的体操”。因此数学课堂教学应突出数学思维和认识环节的实际过程。正如日本数学家、教育家米山国藏所说：“学生们在初中、高中接受的数学知识，因毕业进入社会后几乎没有什么机会应用这种作为知识的数学，所以通常是出校门不到一两年，很快就忘掉了，然而，不管他们从事什么业务工作，惟有深深铭刻于头脑的数学精神、数学思想方法、研究方法、推理方法和着眼点等，却随时随地发生作用”。既然数学思想方法，如此之重要，那么如何渗透给学生?就职业教育下学生基础差、厌学数学等特点，除了按常规下由知识做载体向学生渗透数学思想方法外，数学教学内容中必须有相应的采用此种数学思想方法解决实际生活问题的案例。这样学生会认识到学习解决问题的思想方法是何等的重要，学习数学知识是基础，解决数学问题是一种训练思维的有效途径，而最终目的是使他们学会解决生活、工作中的实际问题。

数学教学内容篇(4)

2、学困生基本情况分析：个别的学生由于基础不好，存有知识断层，学习的自律性比较差，学习能力弱，接受能力差，学习目的不明确，对学习也提不起兴趣。在他们当中有的是父母对子女的学习关心，指导，督促不够;有的是父母对子女过于溺爱，过于迁就;有的是由于不好的学习习惯影响了他的学习成绩。上述原因形成恶性循环，使他们失去信心，致使形成后进生。也有几位学生是智力低下，接受能力差。所以，继续加强学困生的转化也将是我本学期工作的重点。

3、教材分析：教材内容：本册教材内容包括:小数的意义与性质，小数的加法和减法，四则运算，运算定律与简便计算，三角形，位置与方向，折线统计图，数学广角和数学综合运用活动等。

4、本册教材主要特点：总体上看，本册实验教材仍然具有内容丰富、关注学生的经验与体验、体现知识的形成过程、鼓励算法多样化、改变学生的学习方式，体现开放性的教学方法等特点。教材努力体现新的教材观、教学观和学习观，具有创新、实用、开放的特点。既注意体现新理念，又注意继承传统数学教育的内涵，使教材具有基础性、丰富性和发展性。

5、改进四则运算的编排，降低学习的难度，促进学生的思维水平的提高。认识小数的教学安排，注重学生对小数意义的理解，发展学生的数感。提供丰富的空间与图形的教学内容，注重实践与探索，促进学生空间观念的发展。加强统计知识的教学，使学生的统计知识和统计观念得到进一步提升。有步骤地渗透数学思想方法，培养学生数学思维能力和解决问题的能力。情感、态度、价值观的培养渗透于数学教学中，用数学的魅力和学习的收获激发学生的学习兴趣与内在动机。

6、教学目标：理解小数的意义和性急，体会小数在日常生活中的应用，进一步发展数感，掌握小数点位置移动引起小数大小变化的规律，掌握小数的加法和减法。

7、掌握四混合运算的运算顺序，会进行简单的整数四则混合运算;探索和理解加法和乘法的运算定律。

8、认识三角形的特性，会根据三角形的边、角特点给三角形分类，知道三角形的任意两边之和大于第三边以及三角形的内角和是180度。

9、初步掌握确定物体位置的方法，能根据方向和距离确定物体的位置，能描述简单的路线图。

10、认识折线统计图，了解折线统计图的特点，学会根据统计图和数据进行数据变化趋势，体会统计在现实生活中的作用。

11、初步了解植树问题的思想方法，形成从生活中发现数学问题的意识，初步形成观察、分析及推理的能力。

12、教学措施：认真备课，精心设计练习，上好每一节课努力提高课堂教学质量。

13、利用一切手段提高学生学习数学的积极性，使学生热爱数学，善于钻研数学，对数学产生浓厚的学习兴趣。在课堂教学中，努力建构互动教学模式，注重知识在实践中的应用。

14、从计算入手，从根本上抓好学生的计算，使学生打好计算的基本功，做到计算细致，快速，正确。

15、注意学生数学基础知识的学习，对于教材中的定义和概念要让学生弄明白，并且能够根据一些定理进行计算，且正确灵活。同时注意学生在讲课中学习活动的参与，同时要注意对学困生的关爱,让他们感受到老师和同学对他们的尊重。

16、抓好各单元的测验，通过单元检测及时对学生进行查缺补漏。期中、期末制定好复习计划，指导学生进行好复习。

17、在平时的教学中，努力培养学生认真审题的好习惯，一道应用题应该多读几遍之后再解答。鼓励学生独立思考，引导学生自主探索、合作交流。

数学教学内容篇(5)

一、“推广型”内容教学时需解决的问题

1.推广的必要性

解决推广的必要性问题，即要解决“为什么需要推广？”这一问题。教学中应从学生已有的认知水平出发，结合数学发展的现实基础和逻辑基础，让学生深刻领悟到进行推广的必要。例如，在引入大于360°的角和负角时，可以举些学生熟悉的生活中大于360°的角和负角，如体操中的转体、跳水中的翻腾、钟表中的指针、自行车的轮子、螺丝扳手与曲柄连杆等按不同方向旋转时所成的角，用以说明建立新概念的必要性和实际意义，这也有利于体验数学的人文价值，开阔学生的视野。

2.推广的方法性

解决推广的方法性问题，即要解决“如何进行推广？”这一问题。从数学学习、研究过程来看，经常使用如下的逻辑思考方法：

其中突出显示了联系的观点，通过类比、推广、特殊化、化归等思想方法，可以极大地促进学生的数学思考，使他们更有效地寻找出自己感兴趣的问题，从中获得研究方法的启示。例如，关于平面几何中的向量方法，我们可以有如下的“联系图”：

3.推广的应用性

解决推广的应用性问题，即要解决“推广后有什么用？”这一问题。在联系旧知推广得到新知的基础上，要重视新知的应用，让推广的价值得到充分的展示。这种价值，不仅体现在新知对旧知的覆盖，更要让学生感受到一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质。例如，将勾股定理推广到余弦定理以后，可以讲解这样的问题：用余弦定理证明：在ABC中，当∠C为锐角时，a2+b2>c2;当∠C为钝角时，a2+b2

二、“推广型”内容的教学基本策略

1.创设具有认知冲突的问题情境，揭示推广的必要性

认知心理学家认为：当学习者发现不能用头脑中已有的知识来解释一个新问题，或发现新知识与头脑中已有的知识相悖时，就会产生“认知失衡”。这种认知冲突会让学生产生新奇和惊愕，从而引起学生的注意、关心和探究。认知冲突是教学和学习的最佳契机。在进行“推广型”教学内容的教学时，创设具有认知冲突的问题情境，将有利于推广必要性的揭示。

（1）情境生活化，使推广成为需要。解决现实生活和生产实际问题的需要，常常是进行数学推广最直接、最有力的推手。为此我们可以结合具体的实例创设情境，使新知自然生成。例如，我们将0°～360°角推广到任意角时，可创设如下问题情境。

案例1 角的概念的推广的问题情境

问题1 在初中我们是怎样定义角的？（从如下的静态和动态两个角度定义。）

问题2 平面内一条射线绕其端点旋转一周后回到原来的位置，所形成的角是什么角？如果继续旋转下去，所形成的图形还是不是角？为什么？

问题3 生活中存在刚才问题中所出现的角吗？你能试着举出一些实例吗？我们又如何去理解它们呢？

通过回顾旧知，联系生活实际，引发认知冲突，角的推广也就成了必然需求。

（2）关系普遍化，使推广成为必要。推广常用的方式是将变量之间、对象之间的特殊关系改为一般关系而获得具有普遍意义的命题及公式，或是将具体对象改为一般对象从而使命题得到推广[2]。教学时，一般先复习包容性小、抽象概括程度低的概念，并在此基础上创设具有认知冲突的问题情境。例如，将锐角三角函数推广到任意角的三角函数的学习，从认知结构发展的角度来说，是属于“下、上位关系学习”，“先行组织者”是锐角三角函数的概念[3]。教学时，可创设如下问题情境。

案例2 任意角的三角函数的问题情境

问题1 你能回忆一下锐角三角函数的定义吗？

问题2 你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？如果按这种方式用坐标表示的三角函数值，在锐角取值范围内和之前的定义吻合吗？

问题3 改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？（在定义任意角的三角函数之前，必须让学生感知、确认、理解这三个比值都只与角的大小有关，而与点在终边上的位置无关，因此它们都是以角为自变量的函数，从而给出任意角的三角函数的定义。）

问题4 角的范围已经推广到了任意角，那么，仿照以上锐角三角函数的新的定义方式，你认为如何定义任意角三角函数比较合理？

通过以上问题串，由特殊到一般，思维流畅，层层深入，新概念的得出水到渠成。

2.迁移已有的思想方法，凸显推广的方法性

新课标强调“四基”，即学生通过学习，获得必需的基本知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验。基本思想方法、活动经验的获得，不仅来源于自己平时对知识的感悟，更多的来源于平时教师对思想方法的提炼、渗透。学会推广实际上就是学会方法。教师在进行“推广型”教学内容的教学时，应注意迁移已有的思想方法，如类比探究、化归论证等，让学生在推广的过程中感悟方法、掌握方法。

（1）类比探究。类比法通过比较两个对象的部分相同或相似，推出其他方面也可能相同或相似。类比是进行数学再发现的有效方式。在进行角的概念推广的教学时，为了引出正角、负角和零角的概念，我们可设置如下类比式问题串。

案例3 类比正数、负数、零的概念，得出正角、负角、零角的概念

问题1 如何用数学的方法将按顺指针、逆时针两种不同的方向旋转的角加以区分？你以前有过类似的经验吗？

问题2 我们知道，正负数和0可借助数轴有效地进行区分。那么，为了区分按顺指针、逆时针两种不同的方向旋转的角，你认为可以利用什么载体进行区分呢？如何给它们下一个合理的定义呢？

通过以上问题，利用类比的方法，由正数、负数、零的概念自然引出正角、负角、零角的概念，同时也让学生体验从低维问题向高维问题发展的一般方法。

（2）化归论证。一般化是数学推广的基本方式。数学家G・波利亚指出：”一般化是从对象的一个给定集合进而考虑到包含这个集合的更大集合。”由下位公式向上位公式推广时常伴随着猜想，而要对这种猜想进行论证，则常需将上位公式化归至下位公式。例如，我们在将勾股定理推广到余弦定理时，可按如下方式进行。

案例4 借助化归的思想论证余弦定理

问题1 前面学过的正弦定理的表达式是怎样的？它具有怎样的功能？

问题2 在我们所学知识中，有没有涉及已知三角形的两边及夹角，求第三边的情形呢？能否举一个具体的例子？

问题3在ABC中，已知边a，b，∠C≠90°，是否还能用勾股定理求边c？（很自然的想法是构造直角三角形，以便用勾股定理进行计算。辅助线如下图，过程略。）

3.运用推广的结论方法，强化推广的应用性

旧知推广为新知以后，内涵发生了改变，伴随产生了一些新的性质。为了让学生巩固新知，体验数学的实用价值，我们应在推广之后，在概念的辨析、性质的应用等方面及时加以应用。

（1）概念辨析，厘清疑点。数学概念在得到推广以后，其内涵发生了改变，容易与原有的概念产生混淆。为了帮助学生区分新旧概念的区别，加深理解，我们可以通过概念辨析题的方式进行新知的应用。如，将角推广到任意角以后，伴随着产生了象限角、轴线角等概念。这些概念与原有的锐角等概念容易混淆，为此我们可通过如下判断题进行辨析。

案例5 角的概念推广后设置的概念辨析题

判断下列说法是否正确：

①锐角是第一象限角。（对）

②第一象限的角都是锐角。（错）

③小于90°的角都是锐角。（错）

④第二象限的角一定比第一象限的角大。（错）

⑤终边相同的角一定相等。（错）

⑥终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。（对）

（2）前后呼应，变式应用。在问题情境的创设过程中，常借助认知冲突，设置悬念，引发推广。在推广以后，要及时解决原先的疑问，并适当深入，变式提升。例如，前面为了将勾股定理推广到余弦定理，设计了这样的问题：已知三角形的两边及夹角，如何求第三边呢？那么，我们可结合此问题的解决，设计例题及变式。

案例6 将勾股定理推广到余弦定理后设置的例题及变式

①在ABC中，已知边b=3，c=1，∠A=60°，求边a。

②在ABC中，已知边a=4，b=5，c=6，求∠A。

变式1在ABC中，已知边a=4，b=5，c=6，判定在ABC的形状。

变式2在ABC中，已知边a∶b∶c=3∶4∶5，判定在ABC的形状。

知识、能力与学习品质的提升是学生发展的基本目标。通过“推广型”教学内容的教学，让学生充分认识推广的必要性、方法行、应用性，在推广中进行再发现，学会探究，对学生良好数学素养的提升具有较大的帮助。

参考文献

[1] 徐彦辉.数学推广及其常见形式举例分析[J].数学通报，2010（4）.

数学教学内容篇(6)

一、确立一点认识

《课标（2011年版）》明确指出：“‘综合与实践’是积累数学活动经验的重要载体。在经历具体的‘综合与实践’问题的过程中，引导学生体验如何发现问题，如何选择适合自己完成的问题，如何把实际问题变成数学问题，如何设计解决问题的方案，如何选择合作的伙伴，如何有效地呈现实践的成果，让别人体会自己成果的价值。通过这样的教学活动，学生会逐步积累运用数学解决问题的经验。”依据该规定，可以清楚地知道“综合与实践”活动要重视六个方面内容的教学。教师在设计、组织某学段的“综合与实践”活动时，应认真分析该学段学生的年龄特征和认知水平，把握该学段的目标，围绕上述六个方面展开。

在组织“综合与实践”活动的过程中，教师要摆正自己的位置，知道自己该干什么，不该干什么。在发现问题、选择适合自己完成的问题、把实际问题变成数学问题、设计解决问题的方案、选择合作的伙伴、有效地呈现实践的成果等方面，教师要尽量退至幕后，给学生活动的时间和空间，让学生成为活动的主角。但是，教师的这种退不是完全不管，放任自流，无所作为；而是要成为活动的组织者、引导者，在关注结果的同时更加关注过程。教师要善于等，等学生发现问题，让其经历活动的过程，阐述思考的结果。

二、体现两种价值

有专家认为，数学实践活动的教学在于通过活动积累学生的经验，在于通过应用创新学生的经验，这两种教学价值可以充分体现数学教学目标由“两基”向“四基”的实现。过去和现在的数学课堂仍是以落实“双基”为主要的教学目标，忽视了小学生更需要在基本数学思想、基本活动经验上获得发展。其实，更需要让小学生通过活动、通过应用，逐渐将新知纳入到原有的认知结构之中。

例如，一位教师设计的一节《摆一摆，想一想》的公开课，学生活动颇有层次，逐次贴出活动任务及要求：

1.每位同学用3个摆在数位表的空格上，一边摆一边写，看看你能写出哪些数？同桌交流是怎么摆的，推荐你们认为最好的摆法。

2.任选2、4、5个，用你认为最好的方法摆一摆、记一记。同桌互相检查，介绍你用什么方法检查的？

3.用6个可以摆出8个数吗？6，15，24，34，33，42，51，60。检查判断对错，然后进行排序。

4.整理出一份个数与所摆数的方格表，先找出规律再验证规律。

5.如果分别用10、11、12个来摆，猜一猜摆数的规律。（出示0～99的纵横数列表格）

继续猜想：如果要摆出100以内所有两位数，要准备多少个？为什么？

看似简单的几个活动步骤，却隐含着教师精心的设计。它让学生从活动中体验数学方法的价值、体验数学学习的情感态度、体验数学的思维方式、体验数学与现实世界的联系，直到体验数学的魅力，这样一次数学化的活动过程，便是逐步落实“四基”目标的一堂好课。学生的经验在逐渐积累、思维逐步优化，从感性到理性，让数学实践活动的两种教学价值保以体现。

三、突出“三性”

“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。因此，“综合与实践”活动，要将问题贯穿始终。在设计和实施“综合与实践”活动时，在选择问题、创设问题情境、解决问题等活动环节，要注意突出“三性”：⒈选择适合当地学生生活实际的问题，突出针对性；⒉创设问题情境让学生寻找分析解决问题的途径，使之经历过程，突出过程性；⒊让学生通过独立思考或同伴合作等途径自主解决问题、交流活动心得、展示活动结果，突出自主性。教师要在平时的教学中注意发现、挖掘、生成更多适合本地学生探索、有利于学生积累数学活动经验的好问题，促进“综合与实践”课程目标的达成。

如一位教师在教学完“年、月、日”这一单元之后，选取了《制作年历》的实践活动：

1.安排学生在制作之前调查并收集年历的各种式样；

2.动手之前，按学习小组阅读与讨论教科书中单张年历的制作方法；

3.各小组成员动手合作，教师适当引导学生进行探索与创新，制作出多种样式的年历；

4.制作完成后，展示各组的年历，师生共同欣赏、评价，通过交流使学生获得成就感。

5.教师小结的同时抛出：“制作的年历还能做什么？”以促使学生更深层次思考和体验年历（以及年月日知识）在生活中的应用。

这样的活动设计与开展，较完美体现了“三性”的紧密联系，让学生的数学活动经验在“做”和“思考”的过程中积淀与积累。

四、明确四个要素

一堂高效的数学课的具体教学目标必定包含知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四要素；同理，数学“综合与实践”的学习活动也包含四个要素：必须人人参与活动；具有好的问题情境；提供广阔的活动空间；⒋留有充分的交流互动机会。四个要素缺一不可，相辅相成。

这是一位五年级数学教师设计的公开课《找次品》的简要过程：

教师出示完全相同的3瓶口香糖然后放入讲台抽屉，随即从讲台抽屉里的其中一瓶里取出1颗口香糖，再把3瓶口香糖放在讲台上，即刻板书“找次品”三个大字，并微笑着说：这3瓶一模一样的口香糖，其中有一瓶取出了1颗，就成次品了，请大家想办法找出这瓶次品吧！怎么找？想办法。（一个很自然很现实的问题摆在学生的面前。此时，学生需要对自己的经验进行解构、重组、改造，然后补充、延续。）

学生议论纷纷：“少1颗，轻了？称称看，有秤吗？没有秤，推理一下？……”（一系列的疑问促使每个学生都活动了起来，每个学生都产生想交流的欲望，每个学生都想在这个空间完成他对问题的化解，这时有一组的两位同学大胆走到黑板前，一位同学侧平举双臂，站立成了一台无与伦比的天平，左右手各放一瓶，讲台上放一瓶）。

他们用肢体动作加语言进行了演示与陈述：当天平左右两边平衡，说明次品的这瓶就在讲台上；当左右两边不平衡，那么哪边往上翘，就说明次品的这瓶在哪边。只需“称”1次就将这瓶次品找了出来。（全场报以热烈的掌声！这个过程与结果的出现为学生学习策略的定位铺设了基础）。

3瓶的问题有了结果。但这时教师继续引导学生向更深层思考：“如果现在要你们分别从5瓶、9瓶里找出1瓶次品呢？”（学生有了刚才获得解决问题的成就感。兴趣盎然地进行猜测、交流、验证之后，达成一个共识）：“先把它们分分组！”而此时，教师肯定地说：“对！可以用分组的方式来尝试。让我们从小一点的数量5瓶开始吧。”

出示了5瓶，学生从刚才的3瓶问题的解决方法迁移过来，分成了（1，1，3）、（2，2，1）两种方法，发现只需2次就可以找出次品瓶的，教师同时也呈现了（1，4）和（3，2）两种方法的不适性。

其实在这里隐含了对学生认知规律的基本理解：5瓶问题的解决是后期解决能平均分数量问题的必经之路。有了3瓶、5瓶问题的铺垫，再引入9瓶，进行（4，4，1）与（3，3，3）两种分组方法本质不同的分析，发现平均分组可以减少称的次数，然后是12瓶、27瓶、81瓶、243瓶、……。从而让学生们感悟到在原来基础上加上1次就可以找出次品瓶了。

数学教学内容篇(7)

关键词: 文科高等数学 教学内容 改革

数学教育在大学生综合素质的培养中扮演着十分重要的角色。近年来众多高校的非经济管理类文科(以下简称文科)都开设了高等数学课程。2008年我院正式在纯文科专业开设了高等数学课程。这之前我们已经面向全校文科生实验性的开设过《大学文科数学》及《数学建模》,引起了学生的兴趣,这些课程的开设对提高学生的数学素质和数学能力起到了一定的作用。但是,在教学中我们也发现了问题:文科高数基本上是理工类高数的压缩和简化,普遍采取了重结论不重证明、重计算不重推理、重知识不重思想的讲授方法。一些学生虽然掌握了一些的简单知识,但在数学素质的提高上收效甚微,而数学基础较差的那些文科学生,既谈不上对知识真正的理解和掌握,更谈不上数学素质的提高。因此,文科高等数学教学改革是提高学生素质的重要工作。

文科高数开设刚起步的院校,在教材选择、教学内容、教学方法上,都需要进行不断的探索和改进。文科高数的内容和结构如何突破传统的高等数学课程的内容和模式,使其具有明显的时代特征和文科特点;怎样把有关数学史、数学思想与方法、数学在人文社会科学中的应用实例等与有关的高等数学的基本知识相融合,使其体现文理渗透,形成易于为文科学生所接受的教材体系是值得我们认真研究的。

1.文科高等数学教学的目的和要求

数学作为一门重要的基础课,对培养人才的整体素质、创新精神、完善知识结构等方面的作用都是极其重要的。因此开设文科高数的目的和要求有以下几点。

(1)使学生了解和掌握有关高数的初步的基础知识、基本方法和简单的应用。

(2)培养学生的数学思维方式和思维能力,提高学生的思维素质和文化素质。

在这两方面中,前者可以提高文科大学生的量化能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、几何空间想象能力和简单的应用能力,为学生以后的学习和工作打下必要的数学基础。后者是前者的深化,通过数学知识的学习过程学生可以培养数学思维方式和思维能力,提高思维索质,培养学生“数学方式的理性思维”。这些对提高他们的思维品质、数学素质有着十分重要的意义。

当代大学生应做到精文知理,努力把自己培养成应用型、复合型的高素质人才。另外,从现实生活来看,一个人也要有一定的观察力、理解力、判断力等,而这些能力的大小与他的数学素养有很大关系。当然学习数学的意义不仅是使数学可以应用到实际生活中,而且是进行一种理性教育,它能赋子人们一种特殊的思维品质。良好的数学素质可以促使人们更好地利用科学的思维方式和方法观察周围的事物,分析解决实际问题,提高创新意识和能力,更好发挥自己的作用。

2.文科高等数学教学内容改革的原则

对文科学生,我们的数学教育不是为了培养数学研究者,主要是让他们掌握数学思想和数学思维方式。因此,选择的教学内容应以掌握和理解数学思想、提高数学素质为原则。

(1)知识的通俗性原则。文科数学所涉及的知识要使学生易于接受,数学既是一种强有力的研究工具,又是不可缺少的思维方式。文科数学不能像理工科那样,要求有高度抽象的理论推导,在不失数学严谨性的情况下,照顾文科大学生的特点,做到严谨与量力相结合。

(2)教材的适用性原则。所学习的数学知识对文科学生来说应既具有一定的理论价值,又具有一定的实用价值,要真正使学生能够掌握数学运算的实用性理论和工具。如统计数据的处理,图表的编制,最佳方案的确定,等等,以使文科大学生成为合格的理智性人才,更好地适应社会的需求。

(3)内容的广泛性原则。文科高数应当是包含众多高数内容在内的一门学科,是对文科学生进行以知识技术教育为主,同时兼顾文化素质和科学世界观方法论教育的综合课程。内容选取上像微积分、线性代数、概率统计、微分方程等初步知识,应是文科大学生熟悉并初步掌握的。

(4)相互联系的非系统性的原则。数学是一门逻辑性很强的学科,每一分支的内容都具有较强的系统性和逻辑性。但文科高数受学习对象及实际需要的限制,其内容之间存在一定的相互联系,但非系统,所以应把它作为一门文化课来看,不必追求系统和严密,目的是让学生学会用高数的方法思考和处理实际问题。

3.文科高等数学教学内容的探索

文科数学的教学目的是提高大学文科生的数学素质,所以在选取教学内容的时候,教师应尽量体现数学在文科学习中的地位,使其适合文科学生的特点和知识结构,将知识、趣味、应用三者有机地结合起来。语言通俗易懂,便于学生阅读;内容相对浅点,知识覆盖面大点;让学生掌握活的数学思想、方法和基本技巧。教师既要使学生学会,又要使学生真正理解数学思想的精妙之处,掌握数学的思考方式,使其具有良好结构的思维活动,具有科学系统的头脑,提高综合应用能力。如,微积分的内容可有函数,一元函数微分学、积分学;线性代数的内容可包含行列式、矩阵、线性方程组等;概率的内容有随机事件及概率,随机变量及分布,随机变量的数字特征。因我院文科高数只有32学时,故我们主选微积分与线性代数的内容。除这些内容外,我们通过阅读材料还适当增加一些数学思想方法、数学文化等方面的知识,让文科学生对数学有更广泛的理解。

对各部分内容的处理,我们改变传统的教学方式。如:极限定义改变以往过多讲述、分析的做法,通过实例描述定义,使学生充分理解极限思想方法的实质,了解其思想方法的价值,真正体会极限思想的重要性和广泛性;对中值定理的推证,突出几何特征的说明,通过分析,减少了抽象性,加强了直观性,以拉格朗日定理为主线,使学生理解几个中值定理之间的关系。线性代数主要阐明矩阵与行列式、矩阵运算与线性方程组之间的联系与区别,行列式计算只要求掌握简单的方法,降低运算的难度和分量,加强矩阵在解线性方程组的作用和典型例子解法思路的分析,等等。这样处理可使学生学得好一点,真正提高教学效果。

当前是信息技术发展迅速的时代,计算机技术的发展为数学提供了强大的工具,使数学的应用在广度和深度上达到了前所未有的程度,促成了从数学科学到数学技术的转化,成为当今高科技的一个重要组成部分和显著标志。数学教育必须跟踪、反映并预见社会发展的需要,大学文科的数学教育也应如此。文科学生选学一些适当的数学实验,通过亲自动手,可以提高对数学的兴趣,有助于培养数学的素质。

参考文献: