数学学习路径篇(1)

一、 矫正型小测验——减少学习路径中的障碍

矫正型小测验是指以学生的普遍错误为素材，以纠正错误、强化方法、形成技巧为目的而设计的小测验。矫正型小测验可以通过题组比较等方式帮助学生分辨相似问题的异同，使他们真正理解这些易错知识的本质，同时掌握与这些易错知识相关的常见习题的解题方法，从而减少学习路径中的障碍。

如配合人教版六年级数学下册使用的作业本（浙江教育出版社出版）第12页呈现了如下这道填空题：

一个圆柱与一个圆锥等底等高，已知圆柱的体积比圆锥的体积多48立方厘米，那么圆柱的体积是（ ），圆锥的体积是（ ）。

应该说此题是关于等底等高圆柱体积与圆锥体积关系的典型习题，主要检查学生对这两种立体图形体积关系的理解程度。但实际的答题情况并不乐观，全班有7人填了64立方厘米和16立方厘米，还有6人不知道该怎么填，再加上其他错误，此题的错误率超过了40%。经了解，出现64立方厘米和16立方厘米这两个答案的同学都是把48× 的积作为圆锥体积，再把16+48的和作为圆柱体积。看来，学生出错的主要原因还是没有厘清等底等高圆柱体积与圆锥体积之间的关系。为此，笔者特意设计了以厘清圆柱体积与圆锥体积关系为主题的小测验卷，内容如下：

1. 打牢基础。

（1）计算下面各图形的体积。

（2）观察上面几个图形，说一说你的发现。

我发现 。

（3）填空。

①如果圆柱体积是1立方厘米，那么与它等底等高的圆锥体积是（ ），它们的体积差是（ ），它们的体积和是（ ）。

②如果圆锥体积是1立方厘米，那么与它等底等高的圆柱体积是（ ），它们的体积差是（ ），它们的体积和是（ ）。

③把圆锥体积看作1倍，那么等底等高圆柱体积就是（ ）倍，（ ）就是2倍，（ ）就是4倍。

2. 适度发挥。

（1）把一个底面积为12.56平方厘米，高为15厘米的圆锥形铁块铸成一个与它等底的圆柱。这个圆柱的高是多少？

（2）把一个圆柱形木块切削成一个最大的圆锥，削去部分质量是24千克。这个圆锥重多少千克？圆柱重多少千克？

（3）一个圆柱体积是一个圆锥体积的6倍，圆柱底面积是圆锥底面积的一半。已知圆柱的高是12cm，圆锥的高是多少厘米？

3. 充分拓展。

把一个长10cm，宽8cm，高6cm的长方体切削成一个最大的圆锥。这个圆锥的体积是多少？（提示：切削后的圆锥有几种可能？底面直径和高各是多少？）

上述小测验分为三个层次，“打牢基础”是求一组等底的圆柱和圆锥体积，学生通过计算、观察、比较、归纳，很容易得出三者之间的体积关系，即底等底高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，等底等体积的圆锥高是圆柱高的3倍，使学生在头脑中建立起比较清晰的圆柱与圆锥体积关系的立体模型。“适度发挥”是对基础题的应用与深化，通过练习、延伸与拓展，拓宽到等底等体积甚至体积、底面积与高都是倍数关系的情况，这样就开拓了学生的视野，锻炼了学生的思维。“充分拓展”主要考查学生思考问题的完整性，同时也考查学生对数据的选择能力。整张小测验卷由浅入深，由易到难，测试后使学生对圆柱与圆锥之间的体积关系有了更深的认识，取得了预期的效果。

二、 巩固型小测验——消除学习路径中的堵塞

巩固型小测验是指以数学概念的正确理解、数学方法的熟练运用、数学技巧的准确把握为目的而进行的小测验。此类小测验重点考查学生对基本概念、方法与技巧的掌握程度，因此选题时要突出阶段教学的重点，淡化难点，力求使大部分同学都能完成。同时，必须对测试的准确度与速度有相应的要求，从而消除学习路径中的堵塞。

例如，在教学人教版六年级“比例的意义和基本性质”后，为检测学生对所学知识掌握的熟练程度，笔者设计了以比例的意义与解比例为主题的小测验卷，内容如下：

1.基础题。（18分为达标）

（1）求比值。（8分）

3∶5 9∶15 0.8∶0.5 12∶10

∶ 4∶ 0.75∶ ∶

（2）化成最简单的整数比。（6分）

1.2∶0.3 10∶0.1 ∶

∶0.25 0.6∶0.4 ∶

（3）解比例。（6分）

0.8∶X=1∶500 = =X∶0.5

2.发展题。（7、8两题每题2分，其余每题1分。7分为达标。）

（1）把16×18=32×9改写成比例是（ ）。

（2）用12的因数组成一个比例式是（ ）。

（3）用9元钱可以买2kg鸡蛋，总价与数量的比是（ ），比值是（ ）。

（4）走同一段路，甲用了20分钟，乙用了30分钟。甲乙的速度比是（ ）。

（5）甲数与乙数的比是5∶4，乙数比甲数少（ ）%。

（6）甲袋大米的和乙袋大米的一样重，甲乙两袋大米质量的最简整数比是（ ）。

（7）国旗的长与宽的比是3∶2，我校旗杆上的国旗宽128cm，长应是多少厘米？

（8）图上距离与实际距离的比是1∶2000，如果在这幅图上量得甲乙两地距离是8cm，那么两地的实际距离是多少米？

经测试，基础题达标率为91%，成绩比较理想，其错误主要集中在最后一题。发展题达标率为83%，其错误主要集中在4、6、8三题。其中，第4题的答案大多是2∶3，可能是学生把速度比看成了时间比，也有可能是学生根本就不知道如何求速度比；第6题的答案大多是8∶9，可能是学生还没有掌握比例法和假设法这两种解题技巧；第8题的主要错误是没有注意单位的转化。经过梳理与分析，可以看出学生的基础打得比较扎实，下阶段可适当减少计算题，增加解决问题这类题型的数量。可见，巩固型小测验能够巩固学生的“双基”，从而消除学习路径堵塞。

三、 补充型小测验——避免学习路径中的断层

每册数学教材都存在大单元与小单元的情况，大单元内容多，时间跨度大，并且都是本册教材的重点所在，学生在学习过程中容易出现知识疲劳，影响学习效果，甚至还会形成知识断层，导致数学学困生的增加。针对这些大单元，我们有必要补充小测验的次数，变大单元为小单元，及时监控学生的学习，调控自己的课堂教学进度，让学生的学习更加有层次感，从而避免学习路径中的断层。

例如，人教版六年级数学上册的“百分数”单元一共安排了15课时，至少需要3周时间才能学完。为了及时了解学生的学习情况，笔者根据教学进度与教学内容设计了三张小测验卷进行考查，具体为：

结果表明：及时补充小测验的次数可以提高学习效率。可见，在影响学习效果的诸多因素中，及时的检测与评价是非常重要的，它可以提升学生数学学习的层次感，从而更加深刻地掌握大单元知识，达到切实消除知识断层的目的。

四、 整理型小测验——防止学习路径中的拥挤

整理型小测验就是在单元复习阶段，以知识整理为目的，以罗列、列举、画图、框架、举例等方式为手段，以厘清知识之间的关系为目的，以培养学生自主学习能力为目标而进行的小测验。这种形式的小测验难度较大，很多学生难以独立完成，需要教师提供一定的帮助，同时，允许他们适当参考其他同学的成果。

例如，人教版五年级数学下册“因数与倍数”单元的相关概念非常多，学生在学习过程中经常会把有些概念的意义搞混淆。单元内容教完后，笔者要求学生对本单元的学习成果进行整理，整理内容如下：

1.单元知识整理。

本单元一共有几个部分，记下来；仔细看书，找出每个部分有几个知识点，记在相应的方格内；把相反意义的概念放在一起。

2.写出三组意义相反的数的涵义。

（1）（ ）数：

（ ）数：

（2）（ ）数：

（ ）数：

（3）（ ）数：

（ ）数：

3.你认为其他重要的知识还有哪些？

学生整理的过程，也就是对所学数学知识进行全面梳理的过程。通过整理，既可以厘清知识之间的前后联系，又可以明晰单元学习的重点与难点，从而有效防止学习路径中的拥挤。在此基础上，再让学生经历一定量的对比与强化练习，使学生运用知识的能力明显增强。

五、适应型小测验——填补学路中的坑洼

单元检测考查的内容与学生平时训练的内容可能会有一定的差别，如现行人教版数学教材中的填空题、选择题等题型非常少，甚至没有，导致部分学生做题不规范或丢三落四。针对这种情况，在单元检测前有必要对他们进行一定量的适应性训练，将单元检测卷中平时少见或没见过的或对书写格式有要求的题型进行适当改编并让学生先练习，让他们体验新题型及解决方法，从而提高他们学习数学的信心与兴趣，真正享受到数学学习的乐趣。

数学学习路径篇(2)

1.开发学生的问题意识。

问题是数学的心脏,问题是思维的起点。正如美国教育家布鲁巴克所说:“最精湛的教学艺术,遵循的最高准则就是让学生自己提出问题,自觉学习。”在进行“综合与实践”的教学时,教师要营造良好的氛围让学生“敢问”,创设富有情趣的情境让学生“愿问”,随着问题意识的增强,学生会逐步达到“会问”和“善问”的层次。例如,近年来,雾霾现象成为社会的热点问题,教师引导学生关注雾霾中的数学问题,学生非常感兴趣,小组讨论后提出若干关键问题:雾霾分级的数学标准是什么?雾霾会给人体带来哪些危害?如何对雾霾的成因进行量化分析?怎样进行调查研究……这些真实有效的问题激发了学生高涨的学习热情,他们自发成立了研究团队,分工明确,有人负责调查访问,有人负责拍照取样,有人负责整理数据。研究小组连续12天在固定时间、固定地点对着学校大门上方固定的位置拍照取样,完成实验报告。他们将研究成果对全班同学进行汇报展出,并且联名给市长写了一封环保建议书。

正是这样具有现实意义的问题让学生积极地参与到研究中来,他们主动获取知识,探索问题解决的途径,提升数学思考,发展思维能力。教师激活了学生的问题意识,就打开了学生的思维空间,问题意识让学生的思维插上想象的翅膀在数学的天际自由飞翔。

2.培养学生的应用意识。

长期以来,数学教学中更多地注重技能训练而弱化了知识的实际应用。综合实践活动则是有效培养学生应用意识的重要载体。教师应重视从学生已有的生活经验出发,让学生经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。当学生能有意识地运用知识解决生活问题、学以致用时,就会感受到数学的魅力,成为学习的主人。例如,学习了平均数的知识,教师引导学生解决学校食堂中午至少要做出多少米饭才能让大家既吃得饱又不浪费的问题。首先,指导学生对在校吃饭的人数和每个人的饭量进行调查,如果调查全部人数,会很麻烦,于是引导学生选择一定的样本,在每个年段随机选择5个人调查他们的饭量,调查结果如下:

接着,学生运用平均数的知识算出食堂至少要做出的米饭量:1.5×400+2×500+2.3×200=600+1000+460=2060(两)。这又一次将实际问题和众数的知识结合起来,学生深刻感受到并不是所有的情况都适合用平均数的知识来解决,要根据实际情况灵活选用合适的统计量。

数学学习路径篇(3)

【关键词】小学数学；高效课堂；小组合作学习

一、引言

随着近些年国家对素质教育不断地深入开展，人们的教育观念也渐渐发生了变化，各个阶段的教育者正在不停地探索新型有效的教育模式，而小组合作学习就是其中最受师生欢迎的教学模式，并且已经受到不同阶段教育者的重视，说明了小组合作学习在教育教学活动中有着十分重要的影响[1].小组合作学习顾名思义就是以小组为单位，明确每个小组成员的分工内容以及责任，所开展的合作学习活动.在小组学习当中，学生作为主体的性质就会显得特别突出，而教师只需要做好学习的指导以及引导的工作，让学生在整个教学活动中成为主角，对学习当中遇到的问题和知识点进行自主探究和发现，并且通过学生之间的相互讨论和辩证来解决学习问题，并收集所有发现到的知识将其总结，不仅能够提高学生个人的学习探究能力，同时也可以培养学生之间的团队合作能力，更是维护课堂高效学习的重要方法.将小组合作学习的方法应用于小学数学教学课堂当中，可以让课堂氛围保持活跃的状态，提高学生对小学数学学习的积极性，激发学生对合作学习的热情，促进数学课堂教学的高效进行.

二、科学分配小组成员及分工

小组的分配在小组合作学习当中对学生合作学习的效率具有重要的影响，科学合理地分配小组，是根据各名学生的特点将其分配至小组当中，可以让学生充分利用自身的特点在小组中发挥各自的优势，并且起到各自不可缺少的作用，让学生在合作学习中明确自身在小组合作学习中的重要性，使小组合作学习在课堂中紧凑有序地开展，保证课堂教学的高效性.小学数学在进行课堂教学前，教师要掌握好班级中每名学生的数学学习能力以及数学基础水平，并且还要包括性格、兴趣、组织能力和合作能力等方面的情况，才能进行科学合理的分组搭配，提高小组合作学习的效率，促进各个小组之间的相互竞争.教师将学生进行分组时，应该按照小组学生个性的不同搭配，学生之间具有相互补充合作的良好关系，由4至6人为作为一个小组，明确小组组长，由小组组长负责组织和管理，小组成员进行讨论，并且确定每个小组成员的分工，如，专门负责小组活动记录的人、负责材料搜集的人以及代表小组发言人等，可以让小组当中的每个人都充分发挥出自己的作用，避免小组成员中出现无所事事又不知道自己分工的学生出现.比如，在对“长度单位”的学习时，为了让学生学会如何应用本课的知识，教师可以给每个小组分发尺子，并让各个小组的学生同时对桌椅的长度进行测量，开展比赛活动，以各个小组测量桌椅长度的速度作为比赛要求，可以让学生的学习热情高涨，活跃整个课堂氛围，鼓励每名学生积极地参与到比赛活动当中.而在开始测量活动时，每个小组的学生在得到属于自己的分工后，就会有专门的学生负责测量工作、专门的学生负责数据记录工作，还有专门的学生负责整理数据以及发言等，通过每个小组成员的分工合作，让每名学生都发挥出自己最大的作用，提高完成合作学习任务的效率，学会应用尺子测量实物的方法和知识，加深学生对长度单位的认知，有效提高课堂教学效率.

三、合理安排课堂合作学习时间

每个小组都是由4至6人组成，但由于每名学生的学习能力和水平都不同，如果在课堂上不能合理安排合作学习的时间，就会出现只有数学学习能力和水平较高的学生与喜欢发言的学生真正参与到合作学习当中，而那些学习能力和水平较低的学生和比较内向且反应能力较弱的学生很难在有限的时间内进行思考以及完成合作学习的任务，也更难以发表自己的意见.而且，由于时间过短也很难让学生对问题进行深入的讨论学习和交流意，影响到学生合作学习的质量，从而无法达到小组合作学习的目标.所以，教师要合理地安排学生小组合作学习的时间，确保学生能够在充足的合作学习时间内完成相应的小组学习任务，让学生可以深入地思考学习问题，并且讨论出解决问题的方法.比如，根据课堂学习内容的难度，安排不同的合作学习时间，合作学习的时间随着学习内容的难度的加大而延长，让学生能够在较为充裕的时间内进行小组讨论.通常，难度较小的学习内容或不需要让学生太多动手操作的应用问题可以安排5至10分钟的时间让学生进行合作探讨；难度较大并且还要一定的动手操作才能进行探究的学习问题，可以安排12至18分钟的时间让学生深入地进行探讨.同时，教师也要按照具体的学习进度、现场讨论情况以及新问题的出现等情况，适当地调整课堂小组合作学习的时间，确保让每名学生均能有时间对学习问题进行思考、探讨以及解决，促进小组合作学习的深入开展.

四、有效引导学生进行高效合作学习

数学学习路径篇(4)

一、加强有效引导，激发学生学习兴趣

对于小学生而言，他们对所学的知识感兴趣便会专心、专注地学习这方面的知识，在遇到困难时也会积极主动地去钻研和挖掘，因此，提高学生的自主学习能力，就需要激发和培养学生的学习兴趣。在小学数学教学中，培养学生学习兴趣的途径有多种，建立融洽的师生关系、展现数学的魅力、选择恰当合理的教学方式、对学生进行适时的表扬和鼓励等都能够有效地激发学生的学习兴趣。

例如，在选择恰当合理的教学方式中，教师可以尝试将生活实际融入到数学中，使生活化的目标在数学应用题教学中得到更好的体现。让鼓噪乏味的数学问题转化为有趣的实际生活问题，将理论性的知识变得更加生动有趣，激发学生的学习兴趣，同时还能够促进学生对生活实践的了解。再如，教师在教学中要从学生的积极性入手调动学生的学习热情，比如进行《圆》的学习中，先让学生画出汽车轮胎、水桶口的外观形状，从而引入对“圆”的学习，提高学生的主动参与性。

二、创设问题情境，提高学生探索能力

创设问题情境对于提高学生发现问题和解决问题能力具有重要的作用。在数学课堂教学中对相关的问题进行提问，能够有效地实现对教学内容的导入。课前、课中以及课后问题的设置对课堂教学效果的提升具有重要影响，并且各个问题之间的有效衔接能够更好地引导学生思考，提高对问题和知识的把握和理解程度。教师要根据教学内容设置课前问题，以有效地引导学生进行预习，提高学生的自主学习能力和学习兴趣。课中问题是实现高质量教学的关键，同时也是引导学生积极参与课堂、进行课堂互动的有效方式。课后问题的设置，可以让学生加深对课堂学习内容的理解，在自主学习中探索更加深层次的问题，从而有效地提高学生的自主思考能力和解决问题的能力。例如，教师在比例尺的教学中，首先给学生讲解比例尺的基础知识，让学生对比例尺有所了解，然后教师就可以提出具有引申性的问题，如“比例尺在生活中有哪些具体的应用”。学生可以通过对比例尺的概念以及计算方法的理解，从而发现生活中的地图、玩具模型等都是应用了比例尺的原理。学生在对问题进行思考和解答的过程中，不仅加深了对比例尺基础知识的理解，还提高了学生自主学习的能力。

三、营造良好氛围，实现学生轻松学习

良好的教学氛围对于提高学生的自学能力具有重要的影响，处于轻松、愉快的教学氛围中有利于发挥学生的积极性，提高学生的参与度，从而提高学生的自主学习能力。因此，在小学数学教学中教师要改变灌输式的传统教学模式，改变沉闷的教学氛围，采取有效的措施营造轻松愉快的教学氛围，提高学生的积极性和主动性，提高自主学习能力和水平。教师在对学生询问的问题进行解疑时，不仅要注重问题的解决，更重要的是发挥点拨和指导作用，让学生有所思，有所悟。例如，教师在对平行四边形面积问题的讲解中，让学生自主研究和探索平行四边形面积求解与边长、高以及三角形面积求解的关系，让学生在思考中理解和掌握平行四边形的面积公式，同时加强与其他知识学习的联系性，提高学生自主学习的能力。

四、丰富教学形式，增强学生数学感知

小学数学教材本身便是一个丰富多彩的数学王国，在教与学中会涉及到各种问题，比如基本的单位、计算方法、平面和立方体等。教师在对不同的内容进行讲解时，可以创设不同的教学形式，丰富学生的学习生活。首先，数学理论教学难免枯燥乏味，甚至有些理论比较抽象，这就要求教师擅于将抽象的概念通过具体的方式表现出来，将深奥的道理简单化，将枯燥的课堂教学趣味化。在进行课堂教学中，教师可以利用多种辅助教学工具，比如各式各样的教具、网络多媒体或者是进行有趣的课堂教学游戏，在教学中尽可能地吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，增强学生的数学感知，为学生进行自主学习提供动力。例如，教师可以采用新颖有趣的教学方法进行教学，在进行乘法教学之前，教师可以引导学生一起玩一个计算游戏，看谁计算的最快，接着教师将计算的题目展现给同学：2+2+2+2，3+3+3+3+3+3，4+4+4+4+4+4+4。在小朋友进行紧张的计算时，老师就可以立马将答案写出来，以此引起学生的好奇心。然后，教师进行算法解密，便是应用了乘法运算，从而进入到对乘法运算的学习中去。其次，教师在教学中要注重教学内容与生活实际的紧密联系，实现数学知识的实际应用，让学生在学习中体会到数学源于生活、用于生活、生活中处处有数学的道理。提高学生对数学知识和问题的真实感知，从而将学生的注意力集中到问题解决上，提高学生的学习能力和热情。

五、开展数学竞赛，提高学生学习热情

数学学习路径篇(5)

“平均数复习”就是要让学生进一步理解平均数的意义，不仅要关注平均数的概念意义、算法意义，更要关注其统计意义。然而，综观我们目前的“平均数复习”的教学，还没有真正凸显平均数的统计意义，一些教师对平均数的认识还存在不少误区。如把平均数问题当做典型应用题，人为地设计“一辆汽车上午行了5小时，每小时行60千米；下午3小时共行150千米。这辆汽车平均每小时行多少千米”等题目，掩盖了“平均数是描述一组数据集中趋势的量数”的统计学本质；误把平均数当作平均分的结果，采用“移多补少”的方法（课件演示，见下图）进行教学，忽略了“平均数是一个虚拟数”的实质；把公平性当作平均数的意义，忽略了平均数是要先作为一组数据的代表，然后才可以进行公平性的比较的实质……

为此，我们在设计“平均数复习”一课时，要思考以下问题：为什么平均数可以刻画一组数据的一般水平？它的这种特性，教学中我们应该怎样让学生确实感受到呢？如何才能体现平均数的基本思想（即所有数据的和除以数据的总个数），以体现全体数据的一般水平呢？鉴于这样的思考，复习中我们就不能只停留在“简单地给出若干数据，要求学生计算出它们的平均数”的层面上，而应充分引导学生理解平均数概念所蕴含的丰富、深刻的统计与概率背景，让学生经历观察、思考、逐步抽象的过程。在统计图中学习平均数，不仅使学生初步感知平均数是一个虚拟的数，更主要的是让学生感悟平均数是一组数据上下波动的平衡点，是描述一组数据集中程度的一个统计量，可以用它来反映一组数据的一般情况。

一、从统计量的视野入手，思考“为何复习”

复习课常被冠以“炒冷饭”的“罪名”，尤其在“平均数复习”上显得更加明显，这也暴露了众多教师对平均数复习课教学目标定位上的客观缺失。新授课的教学要落实“四基”的目标，练习课、复习课同样承载着落实“四基”的职责。对此，我们要重视“平均数复习”的教学目标定位。第一，要再次厘清基础知识——平均数的概念意义、算法意义和统计意义；第二，要再次统一基本技能——怎样得出一组数据的平均数；第三，要再次渗透基本思想——所有数据的和除以数据的总个数，以体现全体数据的一般水平；第四，再次培植基本活动经验——在活动中感悟平均数是一组数据上下波动的平衡点，是描述一组数据集中程度的一个统计量。复习一开始，教师先给学生出示一幅统计图（图略）和一组数据，再出示第一道复习题：“白鸽学习小组有5人，参加某次数学测验的有4人，他们的成绩分别是李旭88分，陈小梅85分，王红92分，衡一飞100分。（1）估一估，4人的平均分大约是多少分？（2）4人的实际平均分是多少？”这样一组数据来自于学生的实际成绩，学生很容易理解91．25是白鸽学习小组参加测验的4人的实际平均成绩，是一个虚拟数；这个91．25是在85至100之间上下波动的一个平衡点。为了使学生深刻理解平均数的意义，教师结合班级的实际情况，出示第二道复习题：“后来张明来补考了，当他的成绩计入总分后，他们小组的平均分是88分。根据提供的信息能解决什么问题？”有了探究白鸽学习小组4人平均分的经验，学生能提出以下问题：5人的总分是多少？估一估，张明大约是多少分？计算张明是多少分……估计张明的成绩，就是基于平均数88与平均数91．25之间的一种比较，加深了学生对平均数意义的理解——张明的成绩要低于88分。这里体现了复习课的一个重要意义——知多、记少、明新。所以，课堂教学中，教师要引导学生归纳平均数的知识，重视同类知识间的共性，沟通不同知识间的关联，凸显数学与生活的衔接，真正理解平均数是一个统计量的本质意义。

二、从贴近学情的立场，研究“复习什么”

我们知道，内容决定形式，“教什么”比“怎么教”更重要。按此推断，在复习课中，“复习什么”比“怎么复习”更重要。所以，在“平均数复习”课上，教师要立足平均数的意义，着眼学生的需求，精心选择、用心确定复习内容。

首先，进行复习前测，发现学生对平均数概念，尤其是平均数统计概念理解的缺失，由此从白鸽学习小组的成绩入手，引导学生澄清认识。同时，引导学生对估计张明的成绩高于88分的错因进行讨论交流，使学生明白平均数是一个虚拟数，以及这个数在什么样数据之间的波动范围；反之，知道了平均数，就明白实际成绩与平均成绩之间存在一种数据之间的关系。对于学生所暴露的错误加以理解、引导，让学生自主经历思辨的梳理过程，并借助适时的“拎”、适度的“引”，使经验超越体验，促进学生认知结构的建构。

其次，复习课需要全面扫视，不留盲区，起到查漏补缺的作用，但也应重视知识的特点及学生需求，将所复习的内容有重有轻、有详有略地进行梳理。如在“平均数复习”一课教学中，复习的重点是平均数的概念意义、算法意义和统计意义，所以教师应把复习的内容集中在学生的实际成绩和平均成绩这个知识点上，问学生“学习平均数最难的是什么”，进而引导学生深刻理解平均数的意义。这样教学有利于在复习活动中突出重点，切中要害，使学生走出认知的误区，提高复习的效率。

三、从凸显主题的视角，探讨“怎样复习”

梳理与训练是复习课的两翼，通过梳理，引领学生整理、归纳知识，查漏补缺；通过训练，帮助学生夯实技能，提升思维水平。为此，在“平均数复习”一课中，教师要引导学生在分享体验中展开交流，使学生梳理、形成平均数的知识脉络体系，在实际举例中深化平均数意义的理解，并精心设计实际成绩与平均成绩这个知识点的练习，让学生综合运用平均数的意义解决问题。这样的复习教学基于学生的前测错误予以跟进强化，引领学生进行开放性的思考。

如张明拿到试卷（成绩是75分）后，发现老师错批了，当把他的实际成绩计入总分后，他们小组的平均分是92分。教师再次提出问题：“估一估，张明实际成绩是多少分？”有了前面探究的体验，学生能解决张明实际成绩的问题。教师为了强化学生的认知，又抛出问题：“同学们对于平均成绩还有疑惑吗？”有学生提出：“王红的成绩和平均分一样。”这时，有学生认为：“可以用王红的成绩作为白鸽学习小组的平均成绩。”基于学生的错误理解，教师可让全班学生进行讨论，进一步深化平均数的意义，然后当堂训练，使练得其所、练有实效。

数学学习路径篇(6)

针对无线传感器网络移动路由问题，提出了Q学习和蚁群优化混合的无线传感器网络移动路由算法。该算法综合了Q学习和蚁群优化算法思想，引入了新的路径选择概率模型，并对最优路径进行了有效的维护。仿真实验结果表明：该算法有效地提高移动选路效率，满足不同任务对时延的要求，增强了最优路径的可靠性，进一步降低了网络能耗。

关键词：无线传感器网络；Q学习；蚁群优化；移动；路由算法；路径维护

中图分类号：TP393.02

文献标志码：A

0引言

无线传感器网络（Wireless Sensor Network， WSN）[1]是一种将传感器、无线通信等多种技术交叉融合产生的新型应用网络。能源受限是其显著特征之一[2-4]，因此如何设计有效的路由算法以利于大量数据传输成为其重要的研究内容。

文献[5]在WSN中采用基于移动（Mobile Agent， MA）的计算模型，从而有效克服了客户/服务器数据传输模型中能耗大、时延长、可扩展性差等缺点。而MA在WSN中的迁移路径直接影响了数据的传输效率，蚁群优化（Ant Colony Optimization， ACO）算法[6]在解决旅行商问题[7-8] （Traveling Salesman Problem， TSP） 方面较为有效，而WSN中MA的路由问题可以转化成求解TSP。之前的研究[9-12]已采用蚁群算法或改进蚁群算法来解决MA迁移路径问题，但存在算法运行时间较长、容易过早收敛陷入局部最优解、选路效率低和最优路径中存在失效节点等缺陷，同时节点的对环境的学习能力也较弱。

针对以上问题，本文提出Q学习和蚁群优化混合的无线传感器网络移动路由算法（Mobile Agent Routing Algorithm for WSN based on Q learning hybrid with Ant colony optimization， MARAQA）。把Q学习算法中的Q值作为蚁群优化算法中信息素值，增强了路径中节点的学习能力，提高了MA选路效率，采用路径维护操作，提升了最优路径的可靠性，降低了网络整体能耗。

由于得到的最优路径中还可能存在某些因环境或故障等而失效的节点，这样不仅会导致MA迁移失败，使得到的最优路径无效，而且会使求解操作花费的能量和时间等白白浪费，所以求解最优路径固然重要，但对得到的最优路径的维护也同样不可缺少。

根据定理1，可得路径维护的具体操作步骤如下：

1）当路径上某节点失效后，以失效节点的父节点和子节点为直径做圆；

2）根据父节点和子节点的信息表查找共同的邻居节点，并将该失效节点从父节点和子节点的邻居列表中删除；

3）如果只存在一个邻居节点，并且该节点在此圆内，则将此节点作为替代节点；

4）如果存在多个邻居节点，并且这些节点在此圆内，则根据父节点和子节点的信息表中邻居节点地理位置，计算这些节点到父节点和子节点的距离总和，取距离总和最小的节点作为替代节点。

在路径维护过程中，同时考虑了整个局部维护路径的能耗和维护后的路径的长度，使得到的维护后的路径在能耗和时延上达到局部最优。如图3，为WSN中源节点到目标节点之间最优路径中的某一段，在该路径上节点f因故失效，则以失效节点的父节点a和失效节点的子节点b之间的连线为直径作圆，然后进行路径维护操作。因为c、g、h节点都在圆内，而节点h的不在节点a邻居列表中，故将其排除，比较节点c、g分别到节点a、b的距离和，最后选择路由acb来代替故障路由afb，从而在保留原有路径大部分信息的前提下，快速维护最优路径，减少网络重新寻路的能耗和时延。

从图5可看出：由于ACO算法没有考虑节点的剩余能量，求解的路径运行时间比较长；算法容易过早收敛陷入局部最优解，而不是全局最优解；寻优效率比较低，迁移路径较长，能耗大，节点能耗不均衡等，所以其路径评价函数值最大。文献[11-12]算法考虑了节点自身的剩余能量，在一定程度上增强了算法全局搜索能力，但是没有考虑到节点传输能量消耗主要是与距离的平方或者四次方有关，从而导致路径评价函数较大。MARAQA增强了路径中节点的学习能力，在选路时综合考虑节点距离、剩余能量和节点参照距离因素；又考虑到节点传输能量消耗主要是与距离的平方或者四次方相关，从而使最优路径长度、网络能耗和网络能耗均衡度达到有效的平衡，因而其路径评价函数值最小。

4结语

本文设计了新的MA结构和节点信息表，在MARAQA中将Q学习算法中的Q值作为蚁群优化算法中信息素值，提高了节点对环境的学习能力，增强了MA寻路效率。而在选路中综合考虑了最短距离、节点剩余能量和参照距离等因素，并对最优路径进行了维护。仿真结果表明该算法得到的最优路径是优越和可靠的。

参考文献：

数学学习路径篇(7)

    摘 要：在查阅大量文献的基础上对多机器人路径规划的主要研究内容和研究现状进行了分析和总结，讨论了多机器人路径规划方法的评判标准，并阐述了研究遇到的瓶颈问题，展望了多机器人路径规划方法的发展趋势。

关键词：多机器人；路径规划；强化学习；评判准则

abstract:this paper analyzed and concluded the main method and current research of the path planning research for multirobot.then discussed the criterion of path planning research for multirobot based large of literature.meanwhile,it expounded the bottleneck of the path planning research for multirobot，forecasted the future development of multirobot path planning.

key words:multirobot；path planning;reinforcement learning;evaluating criteria 

近年来，分布式人工智能(dai)成为人工智能研究的一个重要分支。dai研究大致可以分为dps（distributed problem solving）和mas（multiagent system）两个方面。一些从事机器人学的研究人员受多智能体系统研究的启发，将智能体概念应用于多机器人系统的研究中，将单个机器人视做一个能独立执行特定任务的智能体，并把这种多机器人系统称为多智能体机器人系统（mars）。因此，本文中多机器人系统等同于多智能体机器人系统。目前，多机器人系统已经成为学术界研究的热点,而路径规划研究又是其核心部分。

机器人路径规划问题可以建模为一个带约束的优化问题，其包括地理环境信息建模、路径规划、定位和避障等任务，它是移动机器人导航与控制的基础。单个移动机器人路径规划研究一直是机器人研究的重点，且已经有许多成果[1~3]，例如在静态环境中常见的有连接图法、可视图法、切线图法、voronoi图法、自由空间法、栅格法、拓扑法、链接图法、dempstershafer证据理论建图等；动态环境中常见的有粒子群算法、免疫算法、遗传算法、神经网络、蚁群算法、模拟退火算法、人工势场法等。然而，多机器人路径规划研究比单个机器人路径规划要复杂得多，必须考虑多机器人系统中机器人之间的避碰机制、机器人之间的相互协作机制、通信机制等问题。

1 多机器人路径规划方法

单个机器人的路径规划是找出从起始点至终点的一条最短无碰路径。多个机器人的路径规划侧重考虑整个系统的最优路径，如系统的总耗时间最少路径或是系统总路径最短等。从目前国内外的研究来看，在规划多机器人路径时，更多考虑的是多机器人之间的协调和合作式的路径规划。

目前国内外多机器人路径规划研究方法分为传统方法、智能优化方法和其他方法三大类。其中传统方法主要有基于图论的方法（如可视图法、自由空间法、栅格法、voronoi图法以及人工势场方法等）；智能优化方法主要有遗传算法、蚁群算法、免疫算法、神经网络、强化学习等；其他方法主要有动态规划、最优控制算法、模糊控制等。它们中的大部分都是从单个机器人路径规划方法扩展而来的。

1）传统方法 多机器人路径规划传统方法的特点主要体现在基于图论的基础上。方法一般都是先将环境构建成一个图，然后再从图中寻找最优的路径。其优点是比较简单，比较容易实现；缺点是得到的路径有可能不是最优路径，而是次优路径。薄喜柱等人[4]提出的一种新路径规划方法的基本思想就是基于栅格类的环境表示和障碍地图的。而人工势场方法的基本思想是将移动机器人在环境中的运动视为一种虚拟人工受力场中的运动。障碍物对移动机器人产生斥力，目标点产生引力，引力和斥力周围由一定的算法产生相应的势，机器人在势场中受到抽象力作用,抽象力使得机器人绕过障碍物。其优点是适合未知环境下的规划，不会出现维数爆炸问题；但是人工势场法也容易陷入局部最小，并且存在丢失解的部分有用信息的可能。顾国昌等人[5]提出了引用总体势减小的动态调度技术的多机器人路径规划，较好地解决了这个问题。

2）智能优化方法 多机器人路径规划的智能优化方（算）法是随着近年来智能计算发展而产生的一些新方法。其相对于传统方法更加智能化，且日益成为国内外研究的重点。

遗传算法是近年来计算智能研究的热点，作为一种基于群体进化的概率优化方法，适用于处理传统搜索算法难以解决的复杂和非线性问题，如多机器的路径规划问题。在路径规划中，其基本思想是先用链接图法把环境地图构建成一个路径节点链接网，将路径个体表达为路径中一系列中途节点，并转换为二进制串；然后进行遗传操作（如选择、交叉、复制、变异），经过n次进化，输出当前的最优个体即机器人的最优路径。遗传算法的缺点是运算速度不快，进化众多的规划要占据很大的存储空间和运算时间；优点是有效避免了局部极小值问题，且计算量较小。 

孙树栋等人[6，7]在这方面较早地展开了研究，提出的基于集中协调思想的一种混合遗传算法来规划多机器人路径方法较好地解决了避障问题。但不足的是该方法必须建立环境地图，在环境未知情况下的规划没有得到很好的解决；且规划只能保证找到一个比较满意的解，在求解全局最优解时仍有局限。

文献[8]中提出的一种基于定长十进编码方法有效降低了遗传算法的编码难度，克服了已有的变长编码机制及定长二进制编码机制需特殊遗传操作算子和特殊解码的缺陷, 使得算法更加简单有效。

智能计算的另一种常见的方法——蚁群算法属于随机搜索的仿生算法。其基本思想是模拟蚂蚁群体的觅食运动过程来实现寻优，通过蚂蚁群体中各个体之间的相互作用，分布、并行地解决组合优化问题。该算法同样比较适合解决多机器人的路径规划问题。

朱庆保[9]提出了在全局未知环境下多机器人运动蚂蚁导航算法。该方法将全局目标点映射到机器人视野域边界附近作为局部导航子目标，再由两组蚂蚁相互协作完成机器人视野域内局部最优路径的搜索，然后在此基础上进行与其他机器人的碰撞预测与避碰规划。因此，机器人的前进路径不断被动态修改，从而在每条局部优化路径引导下，使机器人沿一条全局优化的路径到达目标点。但其不足是在动态不确定的环境中路径规划时间开销剧增，而且机器人缺乏必要的学习，以至于整个机器人系统路径难以是最优路径。

强化学习[10，11] (又称再激励学习)是一种重要的机器学习方法。它是一种智能体从环境状态到行为映射的学习，使得行为从环境中获得积累奖赏值最大。其原理如图1所示。

强化学习算法一般包含了两个步骤：a）从当前学习循环的值函数确定新的行为策略；b）在新的行为策略指导下，通过所获得的瞬时奖惩值对该策略进行评估。学习循环过程如下所示，直到值函数和策略收敛:

v0π1v1π2…v*π*v*

目前比较常见的强化学习方法有：monte carlo方法、动态规划方法、td（时间差分）方法。其中td算法包含sarsa算法、q学习算法以及dyna-q算法等。其q值函数迭代公式分别为

td（0）策略： v(si)v(si)+α[γi+1+γv(si+1)-v(si)]

sarsa算法： q(st,at)q(st,at)+α[γt+1+γq(st+1,at.+1)-q(st,at)]qs′学习算法： qπ(s,a)=∑pαss′[rass′+γvπ(s′)]

近年来，基于强化学习的路径规划日益成为国内外学者研究的热点。m. j. mataric[12]首次把强化学习引入到多机器人环境中。而基于强化学习的多机器人路径规划的优点主要体现在：无须建立精确的环境模型，简化了智能体的编程；无须构建环境地图；强化学习可以把路径规划、避碰、避障、协作等问题统一解决。

张芳等人[13]提出了基于再激励协调避障路径规划方法，把再励函数设计为基于行为分解的无模型非均匀结构，新的再励函数结构使得学习速度得以提高且有较好的鲁棒性。同时，证明了在路径规划中，机器人的趋向目标和避障行为密切相关，对反映各基本行为的再励函数取加权和来表示总的再励函数要优于取直接和的表示方式，也反映了再励函数设计得合理与否及其确切程度将影响再励学习的收敛速度。王醒策等人[14]在动态编队的强化学习算法方面展开了研究。宋一然[15]则提出了分段再励函数的强化学习方法进行路径规划。其缺点是学习次数较多、效率不高，当机器人数目增加时，它有可能面临维数灾难的困难。所以，基于强化学习的路径规划在多机器人环境下的学习将变得比较困难，需要对传统的强化学习加以优化，如基于人工神经网络的强化学习[16]等。

3)其他方法 除了以上国内外几种比较常见且研究较多的方法外，还有唐振民等人[17]提出的基于动态规划思想的多机器人路径规划，把运筹学中的动态规划思想与dijkstra算法引入到多机器人的路径规划中，用动态规划的基本思想来解决图论中的费用流问题和路径规划中的层级动态联盟问题。其选择距离邻近法作为联盟参考依据。一个机器人的邻居是指在地理位置上分布在这个机器人周围的其他机器人；与该机器人最近邻的机器人为第一层邻居,第一层邻居的邻居为该机器人的第二层邻居, 依此类推。那么层级越高（即越近)的邻居,它满足协作要求的可能性越大。动态规划算法实质上是一种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，必须存储产生过程中的各种状态，其空间复杂度要大于其他算法，故动态规划方法比较适合多机器人的全局路径规划。

孙茂相等人[18]提出了最优控制与智能决策相结合的多移动机器人路径规划方法。其首先构造一个以各机器人最优运动状态数据库为核心的实时专家系统, 在离线状态下完成; 然后各机器人在此专家系统的支持下, 以最优规划策略为基础, 采用速度迁移算法, 自主决定其控制。该方法拥有较好的稳定性与复杂度。焦立男等人[19]提出的基于局部传感和通信的多机器人运动规划框架较好地解决了多机器人路径规划在局部在线规划的系统框架问题。沈捷等人[20]提出了保持队形的多移动机器人路径规划。以基于行为的导航算法为基础,把机器人队列的运动过程划分为正常运动、避障和恢复队形三个阶段。在避障阶段,引入虚拟机器人使队形保持部分完整;当队形被严重打乱时,规划机器人的局部目标位姿使队列快速恢复队形。其算法重点为避障机器人进入避障状态,暂时脱离队列,并以虚拟机器人代替避障机器人。

2 多机器人避碰和避障

避障和避碰是多机器人路径规划研究中需要考虑的重点问题之一。避障和避碰主要讨论的内容有防止碰撞；冲突消解、避免拥塞；如何避免死锁。在路径规划中常见的多机器人避障方法[21]有主从控制法、动态优先法（建立在机器人之间的通信协商上）、交通规则法、速率调整法，以及障碍物膨胀法、基于人工势场的方法等。

目前国内外对于多机器人避障展开的研究还不是很多，比较典型的有徐潼等人[22]以th.fraichard的思想为基础，扩充并完善了路径/速度分解方案来协调多机器人,设立集中管理agent进行整体规划，为每个机器人规划路径；并根据优先级规则对运动特征进行分布式规划以避免机器人间的冲突。周明等人[23]提出分布式智能避撞规划系统，将原来比较复杂的大系统转换为相对简单的子系统问题,由各智能机器人依据任务要求和环境变化, 独立调整自身运动状态,完成任务的分布式智能决策体系结构。任炏等人[24]提出了基于过程奖赏和优先扫除的强化学习多机器人系统的冲突消解方法。该算法能够显著减少冲突,避免死锁,提高了系统整体性能。欧锦军等人[25]提出了通过调整机器人的运动速度实现多机器人避碰，将避碰问题转换为高维线性空间的优化问题, 并进一步将其转换为线性方程的求解。该方法的缺点是系统的复杂度较高、计算量太大。

人工势场方法的特点是计算简洁、实时性强、便于数学描述，且适合于多自由度机器人环境，但容易产生抖动和陷入局部极小。为了克服其缺点，景兴建等人[26]提出了人工协调场的方法，在传统排斥力场中增加一个协调力,并将吸引力、排斥力和协调力与局部环境下机器人的运动状态和运动要求结合起来，有效地保证机器人的安全性，提高机器人在复杂动态环境下行为决策的准确性和鲁棒性。

3 多机器人协作和协调机制

多机器人间的运动协调[27~31]是多机器人路径规划的关键，也是多机器人与单机器人路径规划相区别的根本所在。多机器人系统在复杂动态实时环境下，由于受到时间、资源及任务要求的约束，需要在有限时间、资源的情况下进行资源分配、任务调配、冲突解决等协调合作问题，而机器人间的协调与协作，能够大大地提高整个系统的效率和鲁棒性，成为系统完成控制或解决任务的关键。

目前已有的协调方式分为集中式、分布式和混合式三种。在集中式协调中，集中规划器详细地规划出每个机器人的动作，通常的做法是将多个机器人看做一个多自由度的机器人进行规划；而分布式协调规划中，机器人之间进行合作，将一个任务分成多个子任务，根据各自的特点完成不同的子任务，从而共同完成总任务；混合式协调是集中式和分布式混合在一起的形式。

多机器人间典型的协调方法[32]有合同网协议[33]、黑板模型、结果共享的协同方法、市场机制。近年来强化学习在多机器人协作方面也得到很好的应用，陈雪江[32]在基于强化学习的多机器人协作方面展开了研究，提出了多智能体协作的两层强化学习方法来求解在多智能体完全协作、有通信情况下的协作问题。其主要通过在单个智能体中构筑两层强化学习单元来实现：第一层强化学习单元负责学习智能体的联合任务协作策略；第二层强化学习单元负责学习在本智能体看来是最有效的行动策略。陈伟等人[34]提出基于多目标决策理论的多机器人协调方法；通过对环境的拓扑建模,从基于行为的机器人学角度出发,对任务进行分解并设计目标行为,以多目标行为决策理论作为决策支持,从而达到多机器人运动协调的目的。

4 多机器人路径规划方(算)法的判优准则

通常评价机器人路径规划方(算)法的标准文献[35]有正确性、时间/空间复杂度、并行性、可靠性、扩展性、鲁棒性和学习。而多机器人的路径规划除了以上一些衡量标准之外，还需要考虑整个系统的最优化以及机器人间的协调性。

1)正确性 是分析算法的最基本的原则之一。一般来说算法的正确性是指:在给定有效的输入数据后，算法经过有穷时间的计算能给出正确的答案。但在多机器人路径规划算法中，正确性主要指:路径规划算法要生成多个机器人协调运动的无碰安全路径;这条路径是优化的。

2)安全性 一般指多机器人所生成的各路径中节点与障碍物有一定的距离。但在实际的应用背景下，有人认为安全性可以从两个方面来理解：a）狭义地讲，它就是机器人在行走过程中所做的功。在一定的条件下，它与路径长度准则是一致的。b）广义地讲，它是各种优化条件加权综合而得到的结果。

3)复杂度 一个算法的复杂性高低体现在该算法所需要的计算机资源的多少上面。所需要的资源越多，该算法的复杂性越高；反之，所需要的资源越少，该算法的复杂性就越低。算法的复杂性包括时间复杂度和空间复杂度。

在多机器人的路径规划算法中，算法的复杂度分析显得尤为重要。一般地，单机器人路径规划算法的时空复杂度已经颇高，它们的数量级至少是o(n2)；多机器人的路径规划算法不仅是m-o(n2)(即m个机器人路径规划简单地叠加)，它们之间还存在着对运动空间竞争的冲突，面对不断变化的冲突的协调需要花费大量的时间和空间。通常多机器人的路径规划算法与机器人的个数呈指数关系o(km×n2)（k为常数）。这对多机器人路径规划算法的时间/空间复杂度控制是一个很严峻的考验。

4)并行性 算法的并行性从算法设计、编写程序、编译和运行等多个不同的层次来体现。路径规划过程需要大量的计算，当处理的环境比较复杂，机器人工作的环境过于紧凑，尤其是机器人数量很多时，算法的时间/空间复杂度势必会成为算法效率的关键。因此，在算法设计和运行上的并行性是通常考虑的方法。对多个机器人的路径规划尽量采用分布式多进程的规划机制，以实现每个机器人路径规划的并行性。

5)可靠性 把多个机器人及其工作环境看成是一个系统，多机器人处于它们各自的起始点时，称该系统处于初始状态；当它们处于各自的目标点时，称该系统处于目标状态。多机器人的路径规划就是在该系统的这两个状态间建立一串合理的状态变迁。这一状态变迁过程可能会历经许多状态，如果在状态变迁过程中，路径规划算法控制不好各状态间的转移关系，就会导致系统紊乱，出现机器人间的碰撞、找不到路径等恶性后果，使任务失败。所以这就对算法的可靠性和完备性提出了挑战。为了很好地克服这一困难，需要对系统的各种可能状态建模，分析它们相互间的关系，建立有限状态自动机模型或petri网模型，并以此为指导，按照软件工程的思想，构造恰当的算法输入来对算法的可靠性进行检验。

6)可扩展性 在多机器人的路径规划算法中，可扩展性主要是指一种路径规划算法在逻辑上，或者说在实现上能否容易地从2d空间扩展到3d空间，从低自由度扩展到高自由度，从较少的机器人数到更多的机器人数。可扩展性在各种路径规划算法之间没有一种量的比较标准，只能从实际的具体情况出发、从对环境描述的适宜程度出发、从算法解决这一问题的复杂度出发、从算法本身的自适应出发等来考虑。

7)鲁棒性和学习 鲁棒性对于多机器人系统非常重要。因为许多应用，如路径规划要求连续的作业、系统中的单个机器人出现故障或被破坏，要求机器人利用剩余的资源仍然能够完成任务。学习是在线适应特定的任务。虽然通用的系统非常有用，但将它用于特定应用上时，通常需要调整一些参数。具有在线调整相关参数的能力是非常吸引人的，这在将体系结构转移到其他应用时可以节省许多工作。尤其是多机器人系统中机器人的自身学习和相互间的学习能够大大提高整个系统的效率和系统的稳定性。

8）最优化 对动态环境有优化反应。由于有些应用领域涉及的是动态的环境条件，具有根据条件优化系统的反应能力成为能否成功的关键。

5 结束语

综上所述，国内外研究者在多机器人路径规划取得了一些成果，但是在协作、学习、通信机制等方面仍面临很大的困难和不足。如何进一步提高机器人间的协调性，增强机器人自身以及相互间的学习以提高多机器人系统的效率和鲁棒性都有待深入研究。近年来无线通信技术得到长足发展,但在目前的技术条件下，在多机器人系统中实现所有机器人之间的点对点实时通信还有较大困难，这也是大多数多机器人系统仍然采用集中通信方式的主要原因。因此，如何降低多机器人系统对通信速度的依赖程度也是一个非常重要的问题。

总之,多机器人路径规划设计和实现是一项极其复杂的系统工程,展望其能在结合计算智能方法，如差分进化、遗传算法、粒子群算法、免疫算法、模糊逻辑算法、bp网络、人工势场的改进、模拟退火和环境建模方法等方面取得新的突破。

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