高等函数的概念篇(1)

1 函数内容处理方式的新要求

《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称课程标准）仍将函数的基础知识安排在高中起始年级，但在内容要求和处理方式上都发生了比较大的变化。如何在继承传统教材优势的基础上，在展现函数概念的概括过程、揭示函数概念的本质、加强函数的应用以及适当使用信息技术帮助学生理解函数概念等问题上锐意创新，以突破函数概念这个难点，这是新教材的新要求。

2 函数学习背景的新要求

以往教材中，将函数作为一种特殊的映射，学生对于函数概念的理解建立在对映射概念理解的基础上。学生既要面对同时出现的几个抽象概念：对应、映射、函数，还要理清它们之间的关系。实践表明，在高中学生的认知发展水平上，理解这些抽象概念及其相互之间的关系存在很大困难。新要求是从具体实例进入知识的学习，从函数的现实背景实例出发，加强概念的概括过程，这样更加有利于学生建立函数概念、理解函数概念内涵。

3 函数思想方法应用的新要求

函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型。因此，函数在现实世界中有着广泛的应用。加强函数的应用，既突出函数模型的思想，又提供了更多的应用载体，使抽象的函数概念具体化。如新增加的“不同函数模型的增长”和“二分法”，前者通过比较函数模型的增长差异，使学生能够更深刻地把握不同函数模型的特点，在面对简单实际问题时，能根据它们的特点选择或建立恰当的函数模型反映实际问题中变量间的依赖关系；后者充分体现了函数与方程之间的联系，它是运用函数观点解决方程近似解问题的方法之一，通过二分法的学习，能使学生加深对函数概念本质的理解，学会用函数的观点看待和解决问题，逐渐形成在不同知识间建立联系的意识。

4 函数概念理解的新要求

函数概念并非直接给出，而是从背景实例出发采用归纳式的教材组织形式引入。在分析典型实例的共同特征的基础上概括出函数定义后，通过讨论函数的表示、基本性质初步理解函数。它们分别是从函数的表现形式和变化规律两个方面丰富对函数概念的认识。以三类基本初等函数为载体巩固函数概念，在学习了函数定义、基本性质之后，从一般概念的讨论进入到具体函数的学习。指数函数、对数函数和幂函数的概念及其性质都是一般函数概念及性质的具体化。以一类具体函数为载体，在一般函数概念的指导下对其性质进行研究，体现了“具体──抽象──具体”的过程，是函数概念理解的深化。从应用的角度再一次巩固并提升对函数的理解。对一个概念真正理解的一个判断标准就是看看是否可以运用概念解决问题。教材最后安排函数的应用，包括二分法、不同函数模型的增长差异以及建立函数模型解决实际问题，就是期望学生能在“用”的过程中提高对函数概念的理解。

5 函数概念难点突破的新要求

函数概念的理解贯穿了函数内容学习的始终，同时它也是教与学的一个难点，对于形成函数这样抽象的概念，应该让学生充分经历概括的过程。教材选择了三个有一定代表性的实例，先运用集合与对应的语言详细地分析前两个实例中变量间的依赖关系，给学生以如何分析函数关系的示范，然后要求学生仿照着自己给出第三个实例的分析，最后通过“思考”提出问题，引导学生概括三个实例的共同属性，建立函数的概念。在这样一个从具体（背景实例）到抽象（函数定义）的过程中，学生通过自己的思考从分析单个实例上升到概括一类实例具有的共同特征，更能理解概念内涵。

6 函数概念学习中使用信息技术的新要求

高等函数的概念篇(2)

关键词 高等数学；教材；全导数

中图分类号：G642.0 文献标识码：B 文章编号：1671-489X（2013）12-0098-02

导数概念是微积分学中最重要的概念之一。现行高等数学教材中主要讲述一元函数的导数、多元函数的偏导数、方向导数、复合函数的全导数等概念。全面、系统、准确地理解并掌握导数概念是微积分学中最基本与最重要的教学目的之一。为了在实际教学过程中能够顺利地完成与实现这一教学目的，基于对高等教学多年的教学实践中教与学两方面反映出的问题的总结分析，笔者认为现行高等数学教材中关于“全导数”概念的命名有值得商榷之处。

数学思维的突破点为数学发展历程中的一个重要转折点，也为学生的学习难点，学习者的认知过程会“重演”它的发展经过。因此，就数学教学过程而言，学生就会有一些问题：“全导数”在什么样的情况下提出来的？如何理解“趋近于”？想要弄清楚这些问题，就要认真研究数学的发展历程，站在哲学的视角去认识导数。通过这种方法不仅能够帮助了解导数的概念，还能够帮助构建准确的数学概念。

回想导数概念的发展历程，从中得知导数的内涵要早于极限的内涵，就像积分要早于微分一样。大多数人都知道，于古时候的穷竭法里已有积分内涵的萌芽，然而积分的内涵与方法差不多是和近代力学一起出现并发展起来的，其也经过一段时间的酝酿。

同济大学数学教研室编的《高等数学》（第四版）中关于“全导数”概念的表述为：将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形。定理：如果函数u=j（t）及v=ψ（t）都在点t可导，函数z=?（u，v）在对应点（u，v）具有连续偏导数，则复合函数z=?[j（t），ψ（t）]在点t可导，且其导数可用下列公式计算：

公式中的导数称为“全导数”。用同样方法，可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形[1]。目前国内高校选用较多的一些新编高等数学教材中大都沿用这种表述[2]。

对于高等数学教材中导数概念的定义具有很多的争议，很多人认为微积分是将极限理论作为理论前提的，极限运算为微积分运算的一种方法，学生只有掌握好极限，才有可能将导数知识学好；然而也有一部分人认为，极限理论的学习一直为微积分学习中的一个难点。

基于这种定义，明显存在一些问题。

1）与多元函数的偏导数概念相比较，这种“全导数”仅仅是针对多元函数中复合函数求导数的一种特殊情形提出来的。就复合函数而言，复合过程比较复杂，有一元函数与多元函数、多元函数与多元函数，中间变量的个数为两个以上等情形。而上述“全导数”定义中的复合函数只是一个自变量的函数，只不过同一层次的中间变量多于两个，本质上讲这种复合函数仍然是一元函数。仅此原因就引出“全导数”概念，其理由是不充足的。

2）命名中“全”字的汉语意义中，有“全面、全部、全体”等含义，用来表述一种特殊情形下的导数，逻辑上直觉表现为“定义过宽”。这种“全导数”概念与一元函数的导数、多元函数的偏导数、方向导数、全微分概念的逻辑关系难以界定[3]。

3）反映在实际教学过程中，对于学生理解有关导数、偏导数、方向导数、全微分等概念会形成障碍。

①由导数概念的实际背景，知道函数变化率就是导数。基于导数的思想及其内涵，教材中一元函数的导数、多元函数的偏导数、方向导数的定义都是建立在极限理论基础之上，这些概念的一致性是显然的，而所谓“全导数”概念并不具备这种一致性。学生在学习过程中总是自觉不自觉地把这些导数联系起来，教师虽然可以对此做出解释，却陡增节外生枝之感。

②全微分概念是多元微积分学中又一重要概念，教材中重点讨论偏导数与全微分之间的关系。由于所谓“全导数”概念的提出，教学过程中必须对其与全微分概念之间的关系加以解释，以解学生想当然地将全导数与全微分联系之惑，否则对于顺利理解全微分概念势必形成干扰。

通常情况下，不可以用函数?（x）于x1的极限求出?（x1）。如果?（x）在x1连续，然而导函数却不同，即使条件不强也能够这样做。定理：假设函数?（x）于区间[x1，x1+k]（k>0）里连续，并且当x>x1时导数为有穷?（x）；如果?（x1+0）是存在的，那么导数?（x1+0）=导数?（x）。经过证明发展，其具有两方面的意义。

第一方面的意义：导函数于某点的单侧极限存在，那么此点的同侧导函数一定会存在；如果该左右极限均相同，极限就为此点的导数。这表明导函数的极限能够求解导数值。该种方法在点比较特殊的时候，导数很难求出来，然而采用导函数单侧极限来求解就比较容易。

第二方面的意义：如果某点的导数是存在的，那么导函数于此点的左右极限均在而且相同，这也说明导函数不可能存在跳跃间断点。也可以说，存在跳跃点的函数是不存在原函数的，也就是不可能为哪个函数的导函数。这表明含有跳跃点的函数是不可能求出不定积分的。

综上所述，究其原因是由于“全导数”概念的命名形成的。想要解决这个问题可以采用两种方法：第一种方法是重新命名高等数学教学中导数的概念；另一种方法就是不命名，仍叫其原来的名称。作为教材中复合函数求导法则的内容，如果将导数命名为“复合导数”，不足以表达所有复合函数的导数，似为有些不妥。笔者认为，联系高等数学的教学实际，为了突出并顺利地理解掌握一元函数导数、偏导数、方向导数、全微分等有关概念，本着教材编写中删繁就简的原则，避免小题大做，只将其作为“链式法则”中的一个导数公式即可，不必做“全导数”的命名。

参考文献

[1]同济大学数学教研室.高等数学：下册[M].北京：高等教育出版社，1996：30.

高等函数的概念篇(3)

关键词：映射，函数，算子，泛函

中图分类号：N04；O1文献标识码：A文章编号：1673-8578（2015）06-0050-03

引言

在科技术语中，有很多概念交叉、错综复杂、同义异名及同名异义的现象，厘清这些术语之间的概念差别是术语工作的重要内容之一。在数学中，经常会用到映射（mapping）和函数（function），按照集合论的观点，它们都是表示两个非空集合之间的特殊对应关系。然而在不同的教科书和工具书中，它们的定义不尽相同，且有的定义相差较大，这就给学习和使用的人带来了困惑。比如在《中国大百科全书》（第二版）[1]和大学教材《高等数学》[2]中，称函数是映射的一种特殊情况，函数是实数域到实数域的映射。而在专业工具书如《数学大辞典》[3]和《数学百科全书》[4]中，称函数就是映射，二者完全等同。与这两个概念含义相近的还有算子（operator）、泛函（functional）等，这些概念之间具体有什么差别？本文尝试分析并探讨其差异，建立起它们之间的逻辑关系。

一映射的概念

映射是集合论中非常基本的概念，它的定义并无争议，在不同的教科书或者工具书中只有一些表述的差异。在《高等数学》中，映射的概念如下：设数集X、Y为两个非空集合，如果存在一个法则f使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射[2]。也就是说映射是建立在两个非空集合之间的对应关系，并且满足以下几个条件：（1）“对X中每个元素x”，就是说X中不能有剩余元素；（2）“在Y中有唯一确定的元素y与之对应”，就是说在Y中有即可，也就是Y中可以有剩余元素；（3）“唯一确定”，说明X中的一个元素不能在Y中对应多个元素，即“不能一对多”；（4）X中的一个元素在Y中只能对应一个元素，即可以“一对一”；（5）X中的多个元素也可以在Y中对应一个元素，也就是可以“多对一”。在《中国大百科全书》中称其为函数概念的推广，而在《数学大辞典》和《数学百科全书》中称映射就是函数。

二函数的概念

函数是数学中最重要的术语之一，但是其概念却并不完全统一。在大学教材《高等数学》中，函数的定义如下：设数集DR，则称映射f∶DR为定义在D上的函数，在这个函数定义中，对每个x∈D，按对应法则f，总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为函数f在x处的函数值[2]。从中可以看出，这个定义中的“函数”是映射的一个特例，包含于映射，并且其是实数集到实数集的映射。在《中国大百科全书》第二版中称函数本质上是数集之间的一种对应（或称为“映射”）[1]。这也是说函数本质上是一种映射，是数集上的映射，它与映射的概念不同，它的范围小于映射。

而在《数学大辞典》中的函数定义为：即映射。设X与Y为给定的两个集合，f是某个法则，每个x∈X按照f对应唯一的y∈Y，称f为从XY的一个函数[3]。《数学百科全书》中函数的定义也是从集合论的角度给出，与上述定义内涵一致，还指出函数的概念与映射等价[4]。这就是说函数等同于映射，两者概念一致。

由此可见，在不同的工具书中，映射和函数的关系并不相同。这主要是由于函数这个术语的概念在历史上发生过多次变化，其概念不断扩展，所以才形成了函数概念的不一致，从而函数和映射的关系也不一致。

三函数概念的发展历史

作为数学中非常重要而又非常基本的术语，函数概念的形成和发展经历了一段比较长的历史过程。Function这个词首先由莱布尼茨（G.W.Leibniz）提出，后来被中国数学家李善兰译为“函数”。1755年， 欧拉（L.Euler）在他的《微分学原理》的序言中又给出了如下定义：“ 如果某些量以这样的方式依赖于另一些量， 即当后面这些量变化时， 前面这些变量也随之变化， 则将前面的变量称为后面变量的函数。”[5]后来随着分析学的发展，函数的概念也随之扩展。伯努利（J.Bernoulli I）等人拓广了函数自变量的取值范围， 他们允许自变量取函数， 从而产生了泛函，开创了泛函分析学科。由此可见，泛函的概念原本大于函数的概念。

1837年狄利克雷（P.G.Dirichlet）也给函数下了一个定义：如果对于给定区间上的每一个x的值有唯一的y值同它对应， 那么y就是x的一个函数， 至于在整个区间上y是否按照一种或多种规律依赖于x， 或者y依赖于x是否可用数学运算来表达， 那都是无关紧要的[6]。这个概念推广到实数域即是我们现在常用的函数的用法。随着集合论的大力发展，人们认识到函数与映射的内涵是一致的，于是将函数的概念进一步扩展。戴德金（R.Dedekind）首先将映射和函数的概念统一了起来。布尔巴基（N.Bourbaki）学派1939年给出了函数的一个较完整的定义：设E和F是两个集合， 它们可以不同， 也可以相同，E中的一个变元x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数， 如果对每一个x∈E，都存在唯一的y∈F，它满足跟x的给定关系，我们称这样的运算为函数。这也是现在数学专业工具书上常用的定义。所以根据现代数学的观点，映射等同于函数，他们的概念是统一的。出现函数定义的差别主要原因在于根据分支学科的适用范围采用了历史上曾有的函数定义，而不完全采用现代数学观点中的函数定义。

四算子、泛函等相关概念

算子是指从一个空间到另一个空间的映射。在泛函分析中习惯称为“算子”，而称取值为数域的算子为“泛函”。基于此发展起来的算子理论是研究抽象空间之间的对应关系的重要领域。算子的范围相对于泛函来说扩展了，如果两个空间都为实数域，则此算子就是传统概念中的函数。可见算子的概念大于泛函和传统概念中的函数。

如果将函数的定义域从实数域扩展到复数域，那么以复数作为自变量和因变量的函数称为复变函数。定义域为实数域的函数可以看作是复变函数的特殊情况。一个自变量对应多个因变量的情况，称作多值函数。

五映射、函数、算子、泛函之间的相互关系

由上文分析可见，映射、函数、算子、泛函从本质来看基本是一致的，只是它们的应用范围不同。函数和映射是两个集合的特殊对应关系，泛函是空间对数集的映射，算子是空间对空间的映射，算子是扩大的泛函。虽然以现代数学的观点，映射和函数完全等同，但是在分析学中常用函数，在集合论中常用映射。在术语学理论中，科技术语要明确界定概念及其应用范围并不容易，特别是有些学科有习惯用法，也就是术语学中所说的“约定俗成”。对于同义术语，也要加以分析，区别出不同的情况，既然语言中存在同义词，包括所谓相对同义词与绝对同义词的差别，那么，在同一题材的范围内，也可以并行地使用不同的说法。因此，即使术语的概念相近，只是在不同的领域内有不同的名称，也是符合术语规范化工作的实际情况的。虽然它们的内涵是一致的，却不宜统一名称，在不同领域及不同范围内，根据实际情况，在不同的学科保持惯用的、约定俗成的名称更合理，强行统一只会造成更大的使用混乱。因此保持映射、函数、算子、泛函在不同数学分支中根据各自的常用习惯来使用更合理。所以，从内涵上来说，映射、函数、算子、泛函可属于同义异名，但各自应用领域不同，不宜完全统一；从约定俗成角度，在集合论中，惯用映射；在分析学中惯用函数；在泛函分析中，惯用泛函和算子。

六结语

从现代数学的观点，函数就是映射，两个概念完全等价。映射、函数、算子、泛函从内涵来看基本是一致的。从应用范围来看，映射=函数算子泛函函数（实数域）。函数多用在实数集上，常用于分析学；映射常用于集合论；泛函和算子常用于泛函分析。保持它们的习惯用法，不强制统一，符合术语规范化工作的实际情况。

专业工具书（如《数学大辞典》《数学百科全书》等）主要面对数学界专业人员，所以将函数与映射的概念统一，符合数学中这一概念的实际发展情况。而《中国大百科全书》和《高等数学》教材面对更广泛的人群，将函数的概念限制在实数域，映射用在集合论，将映射作为函数概念的扩展，这更符合大家的实际使用习惯。

参考文献

[1] 《中国大百科全书》总编委会. 中国大百科全书[M].2版.北京：中国大百科全书出版社，2009.

[2] 同济大学数学系. 高等数学[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[3] 王元，文兰，陈木法，等.数学大辞典[M].北京：科学出版社，2010.

[4] 《数学百科全书》编译委员会. 数学百科全书[M].北京：科学出版社，1999.

[5] Dieter Ruthing. 函数概念的一些定义――从Jon.Bernoulli到N.Bourbaki[J].数学译林，1986（3）：21-23.

[6] 吉特尔曼 A.数学史[M]. 北京：科学普及出版社，1987：265.

高等函数的概念篇(4)

【摘要】基本概念的教学是数学教学中的一个重要环节。数学课的教学中，应重视概念的教学，使学生理解并掌握概念的内涵，挖掘概念的外延，可培养学生进行发散思维的兴趣和能力，从而大面积提高教育教学质量。

【关键词】概念;教学

Control the content of concept, scoop out concept of outside postpone

Li Zhi-hong

【Abstract】The teaching of basic concept is an importance link in mathematics teaching.In the teaching of mathematics lesson, should value concept of teaching, make student comprehension and control the content of concept, scoop out concept of outside postpone, can development the student carry on interest and ability which dissipate of thinking, thus big rea exaltation education teaching quality.

【Key words】Concept;Teaching

基本概念的教学是数学教学中的一个重要环节。常见到学生在解数学题时常常出错的现象，大部分是由于概念不清所致。很多数学题的解题过程需要从概念出发进行思考，运用性质、法则、公式进行合理变形、推理。而很多数学概念都是及其抽象的。因此在数学课的教学中，应重视概念的教学，使学生理解并掌握概念的内涵，挖掘概念的外延，可培养学生进行发散思维的兴趣和能力，从而大面积提高教育教学质量。

1. 重视概念教学，掌握概念的内涵 概念是思维的“细胞”，是数学理论的基础。只有深刻理解念的本质特征，才能更好地掌握方法，提高分析问题和解决问题的能力才有了前提。

1.1 反函数概念的教学。反函数是高中数学学习中的一个难点，教学中，首先需要搞清楚反函数的概念：从函数y=f(x) (x∈A,y∈B),解出x=f-1(y),如果对于y在B中的如何一个值，通过式子x=f-1(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么互换x与y之后，y=f-1(x) (x∈B,y∈A)叫做原函数y=f(x)的反函数。在这里，要重点理解以下内容：

（1）函数y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数；

（2）函数f(x)的定义域A，值域B，函数f-1(x)定义域B，值域A;

（3）对应法则f:AB, f－1:BA;

即从函数概念的三要素为出发点进行反函数概念的教学。同时，值得注意的是：不是每一个函数都有反函数。另外，作出图像时可知反函数的图像与其原函数的图像关于直线y=x对称。

1.2 函数单调性概念的教学。函数单调性的定义是:对给定区间D上的任意x1,x2，如果x1f(x2)］，则函数f(x)为这个定义域D上的递增（减）函数。

这个定义有如下两种等价形式：

设x1,x2∈［a,b］那么：

（1）f(x1)-f(x2)x1-x2>0(

（2）x1-x2［f(x1)-f(x2)］>0(

在理解函数单调性时，应注意以下几个问题：

（1）单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性；

（2）函数的单调区间是定义域的子集，定义中的x1,x2相对于单调区间具有任意性，不能用特殊值代替；

（3）函数的单调性使得自变量的不等关系和函数之间的不等关系可以“正逆互推”；

（4）f(x)在区间D1,D2上是增（减）函数，但不一定在区间D1∪D2上是增（减）函数。例如函数f(x)=1x在(-∞,0)上是减函数，在在(0,+∞)上也是减函数，但在D1∪D2上不是减函数。

2. 深刻理解概念，合理进行概念外延

2.1 课本中对周期函数是这样定义的：对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时

f(x+T)=f(x)

都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。

仔细分析，理解周期函数的定义，必须注意以下几点：

（1）T是不为零的常数；

（2）使 f(x+T)=f(x)成立的x是定义域中的每一个值；

（3） f(x+T)=f(x)中，T只与x相加；

（4）x+T必须是y=f(x)的定义域中的值；

（5）有些周期函数无最小正周期，如f(x)=c(c是常数）

（6）f(x+T)=f(x)中x的系数必须为“1”。

可以证明以下结论：

(1)如果y=f(x)是周期函数，那么其定义域比为无界区间(-∞,+∞)；

(2)如果T是函数y=f(x)的周期，那么-T，±2T，±2T,……，±kT(k∈Z，k≠0)都是函数y=f(x)的周期。

有了第（1）个结论对理解正、余弦函数定义域为无限区间(-∞,+∞)是有帮助的。有了第(2)个结论，对理解正、余弦函数的周期为2kπ(k∈Z，k≠0)是很有帮助的。

针对以上几点，特设计如下练习，作为补充。

(1)若sin（120°+30°)=sin30°,那么y=sinx的周期T=120°，对吗？

(2)若y=f(x)是周期函数，且f（2x+T)=f（2x-1)（T -1，T为常数），那么y=f(2x)周期是多少？y=f(x)的周期是多少？答案：y=f(2x)周期为1+T2；f（x)周期为1+T。

(3)函数y=tanx, x∈(-32π,32π)的周期是多少？试用x=56π代人检验之。

2.2 关于正棱锥概念的教学。关于棱锥，教材是这样定义的：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥。

关于正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥是正棱锥。

理解棱锥概念时要注意以下说法是否正确：

(1)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是不是棱锥；（答：不是）

(2)棱锥就是由一点出发引若干条射线，用一个与这些射线都相交的平面去截，如此形成的几何体；（答：错）

(3)底面是正多边形的棱锥是正棱锥;（答：错）

(4)各侧面和底面所成二面角相等的棱锥一定是正棱锥;（答：错）

(5)底面多边形内接于一个圆的棱锥，它的侧棱长相等。（答：错）

2.3 函数的奇偶性的教学。对于函数f(x)定义域内任意一个x,若有f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数；若有f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数。

在理解函数奇偶性时需要注意以下几点：

2.3.1 只有当函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称，这个函数才可能具有奇偶性，然后再作判断。

2.3.2 奇偶性的定义是判断函数奇偶性的依据。对于一时难以找到函数f(-x)与f(x)关系时，常用以下等价形式加以判断。

(1)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0;

(2)f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0;

(3)当f(x)≠0时，也可用f(-x)f(x)来判断。

2.3.3 判断函数的奇偶性，有时需将函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响。

2.3.4 若函数f(x)的定义域为［-a,a］(a>0),则“f(0)=0”奇函数的必要不充分条件；若函数f(x)的定义域为［-a,0)∪(0,a］(a>0),则“f(0)=0”既不为奇函数的充分条件，也不是必要条件。

2.3.5 在公共定义域上时，两个奇函数（或偶函数）的和、差仍为奇函数（或偶函数），两个奇函数（或偶函数）的积、商为偶函数。

2.3.6 函数f(x)与函数af(x)、1f(x)有相同的奇偶性。

2.3.7 非零常数函数f(x)=a(a≠0)是偶函数，常数函数f(x)=0既是奇函数又是偶函数。

高等函数的概念篇(5)

关键词：数学概念；数学本质；动态生成

数学是科学的思维，而数学概念是数学思维的细胞.数学概念是反映数学研究对象的本质属性的思维形式，是数学基础知识的核心，是数学思想方法的载体，是导出数学定理和数学法则的基础.正确理解数学概念是掌握数学基础知识的基础，也是进行数学推理、判断、证明的依据.《普通高中数学课程标准》指出：“教学中应强调对基本概念和基本思想的掌握……由于数学高度抽象体现的特点，注重体现基本概念的来龙去脉.在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步应用中逐步理解概念的本质.”因此，要使学生真正理解数学概念、把握数学本质，教师就必须在概念生成环节中不惜时、不惜力.下面，笔者就从自身的教学实践出发，谈谈基于动态生成观的数学概念教学.

一、把握数学概念在知识体系中的位置

数学概念的教学不能只看到“树木”不见“森林”，要搞清楚概念在整个知识体系中的位置，这是概念生成的基础.在备课前要搞清楚以下几个问题：概念的来源是什么？概念的内涵与外延是什么？与之相关概念的相互关系是什么？

案例一：函数概念

函数是中学数学的主体内容，与中学数学很多内容都密切相

关，初中代数中的“函数及其图象”就属于函数的内容，从高一的初等函数学习中掌握定义域、值域、奇偶性、单调性到高二通过数列的学习，理解数列是一种特殊的函数，再到高三导数、积分等知识的运用，学生对函数的认识有了新的飞跃.通过研究高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数，学生能从观察函数的图象认识函数的性质及其初步的应用.数列可以看作定义域为正整数的函数.函数作为高等数学的基础，所体现出来的变量思想对于数学的发展具有里程碑的意义.高中函数贯穿了整个高中数学课程始终.

掌握了函数概念的来龙去脉后，就能更好地把握函数在不同教学阶段的不同含义和教学要求：先从实际模型中抽象出函数概念，然后再用数学方法研究函数性质，最后运用函数模型解决实际问题，这样就体现了数学知识的发生发展过程，突出了知识的来龙去脉，有助于学生理解数学本质.

二、重视背景，情境引入

问题情境是先导，好的问题情境可以激发学生积极思考、主动探究.在教学中，应根据课程内容和高中生的心理特征创造学生感兴趣的问题情境，激发学生学习的积极性，这是数学概念有效生成的前提.而数学概念往往都来源于数学自身发展或实际问题的解决的需要.

案例二：复数的概念

在实数范围内，方程x2+1=0无解，为了使它有解，引入新数i，满足i2=1，由此引入了复数的概念.

三、引导探究，促进生成

教师是教学活动的先行组织者，为了促进学生的自主学习，教师必须发挥好主导作用.创设了问题情境后，教师应该鼓励学生积极探究，大胆发表自己的见解.只有教师的讲解，没有学生的探究和参与，课堂是静态课堂.鼓励学生积极参与探究活动并不意味着放任自流，没有定向的引导，那么课堂可能会变成一盘散沙.问题是数学的心脏.有效的数学教学，应该是在学生的“最近发展区”附近设计一系列的问题即“问题串”，以促进学生的能力提高到更高的一个阶梯.

案例三：函数单调性第一课时

为了帮助学生更深刻地理解概念本质，笔者设计了以下一组问题串：

问题1：给出艾滨浩斯遗忘曲线.请同学通过观察艾滨浩斯遗忘曲线，描述记忆数量与时间的关系.

问题2：在区间[0，+∞）上，函数f（x）=x2的图象从左到右呈现怎样的变化趋势？自变量x与函数值f（x）有什么的关系？

问题3：如何用代数方法来描述“在区间[0，+∞）上随着自变量x的增大，函数值f（x）也跟着增大”这个结论？

问题4：对于具体的两个数值a和b，若有f（a）

问题5：若在区间[a，b]上存在无数个值x1

在经历了上述的探究活动后，学生获得了函数为增函数的“多元联系表示”：

函数f（x）在区间D内为增函数

?在区间D内f（x）的图象从左到右是上升的；

?在区间D内f（x）随自变量x的增大而增大；

?在区间D内，当x1

这时候再给出增函数的概念，自然就水到渠成.

问题6：你能否试着给出减函数的概念？

通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例来反衬，加深了学生对概念的理解.

四、类比概念，抓住本质

新知识不能凭空产生，它必须建立在学生已有知识的基础上，通过类比新旧知识来学习新知识.在数学概念教学中，运用类比的思想来学习新概念，对概念进行辨析，揭示新、旧概念的本质特征，更加注重概念形成的原始思维过程，对学生理解概念大有裨益.

案例四：“等比数列”教学片段

可以通过类比等差数列概念来学习等比数列概念.具体设计如下：

1.回忆等差数列的概念及等差数列通项公式的推导方法.

高等函数的概念篇(6)

关键词： 新课标 高中数学概念课 有效教学

数学概念是对客观事物的数量关系、空间形式或结构关系的特征概括，是对一类数学对象的本质属性的真实反映。数学概念的教学既是数学教学的关键环节，又是数学学习的核心所在。因此概念教学在数学课堂教学中起到举足轻重的作用。那么如何进行有效的数学概念教学呢？下面我就结合自己的教学实践谈谈看法。

一、数学概念的合理引入

概念的引入是进行概念教学的第一步，这一步走得如何，对学生学好概念至关重要。

1.从数学本身发展需要引入概念。

从数学内在需要引入概念是引入数学概念的常用方法之一，这样的例子随处可见。例如，整个数学体系的建立过程就体现了这一点：在小学里学习的“数”的基础上，为解决“数”的减法中出现的问题，必须引入负数概念。随着学习的深入，单纯的有理数已不能满足需要，必须引入无理数。在实数范围内，方程x■+1=0显然没有解，为了使它有解，就引入了新数i，它满足i■=-1，并且和实数一样可以按照四则运算法则进行计算，于是引入了复数的概念。

2.用具体实例、实物或模型进行介绍。

学生形成数学概念的首要条件是获得十分丰富且合乎实际的感性材料。教师在进行概念教学时，应密切联系概念的现实原型，使学生在观察有关实物的同时，获得对于所研究对象的感性认识。在此基础上逐步上升至理性认识，进而提出概念的定义，建立新的概念。例如，在引入“函数”概念时，可以设计以下问题：（1）炮弹发射时，炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间（单位：s）变化的规律h=130t-5t■；（2）温州某一天的气温随时间的变化规律；（3）1990-2008年梧田镇居民生活水平的变化规律。这样有利于学生更好地理解概念，调动学生学习的积极性和主动性。

3.用类比方法引入概念。

当面对一个概念时，如果学生没有直接相关的知识，就可以通过类比的方法把不直接相关的知识经验运用到当前的问题中，因此类比是引入新概念的一种重要方法。例如，立体几何问题往往有赖于平面几何的类比，空间向量往往有赖于平面向量的类比。通过类比教学和训练，学生对概念的认识能够升华。

二、数学概念的建立和形成

数学概念是多结构、多层次的。理解和掌握数学概念，应遵循由具体到抽象，由低级到高级，由简单到复杂的认知规律。因此，一个数学概念的建立和形成，应该通过学生的亲身体验、主动构建，通过分析、比较、归纳等方式，揭示出概念的本质属性，形成完整的概念链，从而提高学生分析问题、解决问题的能力，逐渐形成数学思想。可以从以下几方面给予指导。

1.分析构成概念的基本要素。

数学概念的定义是用精练的数学语言概括表达出来的，在教学中，抽象概括出概念后，还要注意分析概念的定义，帮助学生认识概念的含义。如为了使学生能更好地掌握函数概念，我们必须揭示其本质特征，进行逐层剖析。对定义的内涵要阐明三点：①x、y的对应变化关系。例如在“函数的表示方法”一节例4的教学中，教师要讲明并强调每位学生的“成绩”与“测试时间”之间形成函数关系，使学生明白并非所有的函数都有解析式，由此加深学生对函数的“对应法则”的认识。②实质：每一个值，对应唯一的y值，可列举函数讲解：y=2x，y=x■，y=2都是函数，但x、y的对应关系不同，分别是一对一、二对一、多对一，从而加深对函数本质的认识。再通过图像显示，使学生明白，并非随便一个图形都是函数的图像，从而掌握函数图像的特征。③定义域，值域，对应法则构成函数的三素，缺一不可，但要特别强调定义域的重要性。由于学生学习解析式较早，比较熟悉，他们往往因只关注解析式，忽略定义域而造成错误。为此可让学生比较函数y=2x，y=2x（x>0），y=2x（x∈N）的不同并分别求值域，然后结合图像分析得出：三者大相径庭。强调解析式相同但定义域不同的函数绝不是相同的函数。再结合分段函数和有实际意义的函数，引起学生对实际问题的关注和思考。

2.抓住要点，促进概念的深化。

揭示概念的内涵不仅由概念的定义完成，还常常由定义所推出的一些定理、公式得到进一步揭示。如三角函数定义教学中，同角三角函数关系式、诱导公式、三角函数值的符号规律、两角和与差的三角函数、三角函数的图像和性质都是由定义推导出来的，可使学生清楚地看到概念是学习其他知识的依据，反过来又会使三角函数定义的内涵得到深刻揭示，加深对概念的理解，增强运用概念进行推理判断的思维能力。教学中应有意识地启发学生提高认识，引导学生从概念出发，逐步深入展开对它所反映的数学模式作深入探究，以求更深刻地认识客观规律。

三、数学概念的巩固与运用

数学概念的深刻理解并牢固掌握，是为了能够灵活、正确地运用它，同时，在运用过程中，又能更进一步地深化对数学概念的本质的理解。为此，在教学中应采用多种形式，引导学生在运算、推理、证明及解决问题的过程中运用数学概念。

1.通过开放性问题与变式，深入理解数学概念。

数学概念形成之后，通过开放性问题，引导学生从不同角度理解概念。这将影响学生对数学概念的巩固及解题能力的形成。如在“等比数列”中设置问题：

例：已知{a■}是等比数列且公比为q，请你构造出新的等比数列，并指出它们的公比。

变式：已知{a■}，{b■}是项数相同的等比数列，公比分别为p，q，请你构造出新的等比数列，并指出它们的公比。

通过讨论与辨析，学生对等比数列的概念有了更深入的理解与认识。

2.通过解决实际问题，深入理解数学概念的本质。

很多数学概念都有其实际背景，它的产生必然离不开现实世界，离不开生活实际，反过来，在概念形成后，学会在实际问题中运用所学概念，这也是深入理解概念本质的有效途径。如学习“等比数列”概念之后，可解决实际问题：今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？利用统计中的“方差”概念，通过对几组数据的分析，判断某事件（如射击、成绩、机器性能等）的稳定性等，通过解决这些实际问题，能够提高学生运用概念的灵活性，对概念的本质有更深入的理解。

总之，在概念教学中，要根据课标对概念教学的具体要求，创造性地使用教材。优化概念教学设计，把握概念教学过程，真正使学生在参与过程中产生内心的体验和创造。

参考文献：

[1]邱僖.关于概念课教学的研究[J].中学数学，2009.9.

[2]曹时武.数学概念课的教学模式探讨[J].中学数学，2010.12.

高等函数的概念篇(7)

关键词：高中数学；函数教学；渗透教学

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是高中数学学科知识的重要组成部分，在各章节知识体系中具有桥梁和纽带的作用，函数概念的产生标志着数学思想方法的改变，从常量数学转成变量数学，函数的教学能够使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系与制约中的，从而了解事物的变化趋向及其运动的规律，对于培养学生的辩证唯物主义观点、解决实际问题的能力是一个有效的工具。

一、数学思想方法的定义

数学思想方法是一种对问题的分析以及探索的技巧，是更好地解决问题的一种思路，同时也是为更好地分析及解决问题提供的一种有效的、具有很强可操作性的数学解题方法。

二、数学思想方法运用的重要意义

对数学思想方法的运用是全民推进素质教育的需要。全面地推进素质教育是在我国当代教育中比较重要的一项任务，从现在的高考试题来看，它重点考查的内容是学生对知识理解的准确性、深入性以及灵活运用的能力。对于学生的考查更加注重于数学思想方法以及数学能力，所以说数学思想方法在高中函数教学中的应用具有重要的意义。

三、函数

1.函数的概念

现代数学家对函数概念的定义方法大致可以分为四种：第一种就是把函数定义为具有某种函数特征的状态，而不是定义函数本身；第二种就是把函数看成一种法则或者规律，按照事物的发展，对其以后发展的物质有着定量或者不定量的影响；第三种就是把函数解释成一种对应关系，一种固定事物对应一种关系的关系；第四种就是把函数描述为一种特殊关系或者一种特定关系。通过不同的定义方法我们可以理解出不同的函数定义。函数作为数学中最基础的概念之一，进一步分析后，可以比较清楚地了解到其中包括极限理论、积分数、微分过程及至泛函分析等。包括其他科目，比如物理学等也是以函数的基础知识研究本学科的物质的变化归路的，以函数为基本来研究和解决并作为解决问题的最终工具。这就充分证明了，函数本身就蕴藏着极其丰富的辩证思想。

2.函数的本质

迪尔卡提出“变量”一词本身就是一种函数的表现形式。恩格斯评价说：“数学中的转折点是迪尔卡的变量，有了变量，运动进入数学；有了变量，辩证法进入了数学；有了变量、微积分和积分也就立刻成为必要，而他们也就立刻产生啦！”。进入十六世纪，数学理论不断发展，数学中描述运动变化的概念―――变量以及函数的概念成为百年数学研究的中心。所以，函数的本质就是以公式或图形的形式，表示物质或事物在变量下的一种积累的过程。

3.函数的发展

在函数成为近、现代数学研究的基本理论后，函数很快充斥数学的一切研究领域，并成为数学研究的基本思路之一。随着科学技术的发展和科学知识的不断普及，人们对变量、函数的认识不断加强，数学科学也从初等数学时期进入高等数学时期。函数对人类思维方式的影响有了质的变化，也促进了数学科学和现代科技的蓬勃发展。因此也就可以说，函数是近、现代数学的基石。函数概念产生本身就标志着数学思想方法的一种重大挫折。而函数的应用就改写了数学的面貌，从对象到理论，方法，结构发生了根本的变化。

4.函数在高中教学中的应用

在高中时期，学生学习的函数一般可以分为函数、函数的表示方式、函数的单调性和反函数等四个方面，函数作为高中教育阶段最主要的内容之一，对高中时期的概念和性质，在给正面数量关系后，还必须借助图形来直观地揭示函数的另一面，并用不同的语言、不同的形势、不同的角度来认识和解释函数问题的本质。函数在高中教学体系中，占有主要地位。它与中学数学的很多学科有着密切关系。在初中“函数及其图像”就属于函数教学的内容。高中数学中主要学习函数包括：指数函数、对数函数、三角函数，它们都是函数教学的主体，通过不断被对函数的研究，能够充分认识函数的性质、图像及其初步的应用。包括在普通高等教育中的极限、微积分初步知识等都是函数的内容。而高中的函数等都属于初等函数，其他的教学内容也都与函数有着或大或小的关系。

四、高中数学函数教学中渗透数学思想的实践策略

1.在概念形成过程中渗透数学思想

通常在教学过程中对于一个新知识的传授首先是要掌握知识的概念，再是概念形成的过程，教师要给予充足的解释，使学生在一开始接受新知识的时候就意识到数学思想在概念形成过程中的重要性。下面我们以二次函数为例。一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a成为二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。x是自变量，y是因变量。函数图象是轴对称图形。对称轴为直线x=-[ b 2a]，顶点坐标是（-[b 2a]，[4ac - b2 4a]）。交点式是y=a（x-x1）（x-x2）（仅限于与x轴有焦点的抛物线），与x轴的交点坐标是A（x1，0）和B（x2，0）。通过教师对数学函数概念的描述可以优化学生对概念的理解以及应用能力。

2.教学过程中应用例题强化对数学思想的理解

下面我们举出一个例题并根据上述对函数概念的描述对其进行解析。例题有二次函数y=x2-x-6，分别判断此二次函数图象的对称轴、顶点坐标和与坐标轴的交点。解可知此函数的a=1，b=-1，c=-6，那么该函数图象的对称轴为直线x=-[b2a]即x=[12]，顶点坐标是（-[b2a]，[4ac - b24a ]），即（[12]，-[251]）；因为此函数y=x2-x-6可以分解为y=（x+2）（x-3），其中a=1，所以该函数与坐标轴的交点分别是A（-2，0）和B（3，0）。在教师描述完函数的概念后引入例题让学生们能及r消化对概念的理解，并通过例题将数学思想应用于计算与分析、解决问题的过程。

此外，课堂教学确定合理的教学目标十分重要，在不同的教学阶段应该给学生以不同层次的学习体验。高一、高二新授课的函数教学，要十分注重基础知识和基本技能，并在此基础上注重引导学生感悟数学函数的基本思想，从而为后续的教学和高三的复习教学作必要和可能的铺垫。

参考文献：